Страница 156 номер 248, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Пользуясь диаграммой Эйлера, проверьте, верно ли равенство: а) \(A \cup (B \cap A) = B\); б) \(A \cap (B \cup A) = A\).
Изобразим множества \(A\) и \(B\) пересекающимися кругами и закрасим на одной диаграмме левую часть равенства, на другой — правую.
а) Пересечение \(B \cap A\) — общая часть кругов — лежит внутри круга \(A\), поэтому объединение \(A \cup (B \cap A)\) — весь круг \(A\). Правая часть равенства — круг \(B\).
Закрашены разные фигуры: левая часть равенства всегда совпадает с множеством \(A\), а множество \(A\) не обязано совпадать с множеством \(B\). Например, при \(A = \{1, 2\}\) и \(B = \{2, 3\}\) получаем \(B \cap A = \{2\}\) и \(A \cup (B \cap A) = \{1, 2\}\), а правая часть — множество \(\{2, 3\}\), в нём нет числа 1. Равенство неверно.
б) Объединение \(B \cup A\) — оба круга целиком, и его общая часть с кругом \(A\) — весь круг \(A\). Правая часть равенства — тоже круг \(A\).
Закрашенные фигуры совпадают, и так будет при любых множествах: каждый элемент множества \(A\) принадлежит объединению \(B \cup A\), а значит, и пересечению \(A \cap (B \cup A)\), а каждый элемент этого пересечения принадлежит множеству \(A\). Равенство верно.
Ответ: а) неверно; б) верно.
Пользуясь диаграммой Эйлера, проверьте, верно ли равенство: а) \(A \cup (B \cap A) = B\); б) \(A \cap (B \cup A) = A\).
Равенство верно, если обе его части — одно и то же множество при любых множествах \(A\) и \(B\). Изобразим множества \(A\) и \(B\) пересекающимися кругами и закрасим на одной диаграмме левую часть равенства, на другой — правую.
а) Пересечение \(B \cap A\) — общая часть кругов — лежит внутри круга \(A\), поэтому объединение \(A \cup (B \cap A)\) — весь круг \(A\). Правая часть равенства — круг \(B\).
Закрашены разные фигуры: левая часть равенства всегда совпадает с множеством \(A\), а множество \(A\) не обязано совпадать с множеством \(B\). Например, при \(A = \{1, 2\}\) и \(B = \{2, 3\}\) получаем \(B \cap A = \{2\}\) и \(A \cup (B \cap A) = \{1, 2\}\), а правая часть — множество \(\{2, 3\}\), в нём нет числа 1. Равенство неверно.
б) Объединение \(B \cup A\) — оба круга целиком, и его общая часть с кругом \(A\) — весь круг \(A\). Правая часть равенства — тоже круг \(A\).
Закрашенные фигуры совпадают, и так будет при любых множествах: каждый элемент множества \(A\) принадлежит объединению \(B \cup A\), а значит, и пересечению \(A \cap (B \cup A)\), а каждый элемент этого пересечения принадлежит множеству \(A\). Равенство верно.
Ответ: а) неверно; б) верно.
