Страница 158 номер 256, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Известно, что \(x \in [1; 4]\) и \(x \in (2; 5)\). Истинны ли утверждения: а) \(x \in (2; 4]\); б) \(3 \le x \le 4\); в) \(x \in (-5; 8)\); г) \(x > 2\)?
Число \(x\) принадлежит пересечению отрезка \([1; 4]\) и интервала \((2; 5)\). Общие числа этих промежутков — от 2 до 4; число 2 интервалу не принадлежит, число 4 принадлежит обоим промежуткам. Значит, \(x \in (2; 4]\). Изобразим промежутки на числовой прямой и закрасим пересечение.
а) Утверждение \(x \in (2; 4]\) истинно.
б) Утверждение \(3 \leqslant x \leqslant 4\) не обязательно истинно: при \(x = 3\) оно истинно, но число \(2{,}5\) тоже принадлежит полуинтервалу \((2; 4]\), а \(2{,}5 < 3\), поэтому при \(x = 2{,}5\) утверждение ложно.
в) Утверждение \(x \in (-5; 8)\) истинно: каждое число полуинтервала \((2; 4]\) больше \(-5\) и меньше 8, то есть \((2; 4] \subset (-5; 8)\).
г) Утверждение \(x > 2\) истинно: все числа полуинтервала \((2; 4]\) больше 2.
Ответ: а) да; б) не обязательно; в) да; г) да.
Известно, что \(x \in [1; 4]\) и \(x \in (2; 5)\). Истинны ли утверждения: а) \(x \in (2; 4]\); б) \(3 \le x \le 4\); в) \(x \in (-5; 8)\); г) \(x > 2\)?
Число \(x\) принадлежит и отрезку \([1; 4]\), и интервалу \((2; 5)\), то есть их пересечению. Общие числа этих промежутков — от 2 до 4. Число 2 интервалу не принадлежит, число 4 принадлежит обоим промежуткам. Значит, \(x \in (2; 4]\). Изобразим промежутки на числовой прямой и закрасим пересечение.
а) Утверждение \(x \in (2; 4]\) истинно: полуинтервал \((2; 4]\) и есть множество, которому принадлежит \(x\).
б) Утверждение \(3 \leqslant x \leqslant 4\) не обязательно истинно. При \(x = 3\) оно истинно. Но число \(2{,}5\) тоже принадлежит полуинтервалу \((2; 4]\), а \(2{,}5 < 3\), поэтому при \(x = 2{,}5\) утверждение ложно.
в) Утверждение \(x \in (-5; 8)\) истинно: каждое число полуинтервала \((2; 4]\) больше \(-5\) и меньше 8, то есть \((2; 4] \subset (-5; 8)\).
г) Утверждение \(x > 2\) истинно: все числа полуинтервала \((2; 4]\) больше 2.
Ответ: а) да; б) не обязательно; в) да; г) да.
