Страница 124 номер 194, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Приведите контрпример (пример, показывающий, что утверждение не является истинным) к утверждению: а) «Если медиана треугольника не является его высотой, то такой треугольник не является равнобедренным»; б) «Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны».
а) Например, равнобедренный прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом \(C\) (\(AC = BC\)) и медиана \(AM\), проведённая к боковой стороне \(BC\) (\(M\) — середина \(BC\)). Из точки \(A\) к прямой \(BC\) можно провести только один перпендикуляр — катет \(AC\), а точка \(M\) с точкой \(C\) не совпадает. Значит, медиана \(AM\) не является высотой, но треугольник \(ABC\) равнобедренный — утверждение ложно.
б) Например, два равносторонних треугольника: со стороной 1 см и со стороной 2 см. Все углы каждого из них равны \(60^\circ\), поэтому два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого. Но треугольники не равны: их стороны разные.
Ответ: а) например, равнобедренный прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом \(C\): медиана \(AM\), проведённая к боковой стороне \(BC\), не является высотой; б) например, равносторонние треугольники со сторонами 1 см и 2 см.
Приведите контрпример (пример, показывающий, что утверждение не является истинным) к утверждению: а) «Если медиана треугольника не является его высотой, то такой треугольник не является равнобедренным»; б) «Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны».
а) Например, равнобедренный прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом \(C\) (\(AC = BC\)) и медиана \(AM\), проведённая к боковой стороне \(BC\) (\(M\) — середина \(BC\)). Нужен равнобедренный треугольник, у которого какая-то медиана не является высотой. Медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является его высотой, поэтому берём медиану, проведённую к боковой стороне. Из точки \(A\) к прямой \(BC\) можно провести только один перпендикуляр — катет \(AC\), а точка \(M\) с точкой \(C\) не совпадает. Значит, медиана \(AM\) не является высотой, но треугольник \(ABC\) равнобедренный — утверждение ложно.
б) Например, два равносторонних треугольника: со стороной 1 см и со стороной 2 см. Все углы каждого из них равны \(60^\circ\), поэтому два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого. Но треугольники не равны: их стороны разные.
Ответ: а) например, равнобедренный прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом \(C\): медиана \(AM\), проведённая к боковой стороне \(BC\), не является высотой; б) например, равносторонние треугольники со сторонами 1 см и 2 см.
