Страница 120 номер 187, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Любой многоугольник можно рассматривать как граф. Граф многоугольника состоит из одного-единственного цикла (рис. 54). Граф некоторого многоугольника ориентировали, то есть указали, в какую сторону направлено каждое ребро. Покажите, что число вершин, в которые входят два ребра, равно числу вершин, из которых выходят два ребра.
Вершина многоугольника — общий конец двух его сторон, поэтому в графе многоугольника у каждой вершины ровно два ребра. После того как граф ориентировали, каждая вершина оказалась одного из трёх видов: в неё входят оба ребра; одно ребро входит, а другое выходит; из неё выходят оба ребра. Пусть вершин первого вида \(m\), второго — \(k\), третьего — \(n\). Тогда сумма входящих степеней всех вершин равна \(2m + k\), а сумма исходящих — \(k + 2n\). В любом ориентированном графе эти суммы равны, поэтому \(2m + k = k + 2n\), откуда \(m = n\).
Ответ: вершин, в которые входят два ребра, столько же, сколько вершин, из которых выходят два ребра.
