Страница 117 номер 180, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Пять участков отделены друг от друга заборами (см. план на рис. 48). Можно ли побывать на каждом участке, но при этом перелезть через каждый забор ровно один раз?
Пронумеруем участки. Через внешние заборы тоже нужно перелезть, поэтому всё, что вокруг участков, обозначим номером 0:
Построим граф: вершины — участки 1—5 и область 0 вокруг них, ребро соединяет две области, которые разделяет забор, — по одному ребру на каждый забор. У участков 4 и 5 по два внешних забора, поэтому каждую из этих вершин с вершиной 0 соединяют два ребра — кратные рёбра.
Степени вершин: у вершины 0 — 7, у вершин 1 и 2 — по 3, у вершин 3, 4 и 5 — по 5; их сумма \(7 + 3 + 3 + 5 + 5 + 5 = 28\) вдвое больше числа заборов, 14. Вершин нечётной степени шесть — больше двух, поэтому эйлерова пути нет: побывать на каждом участке, перелезая через каждый забор ровно один раз, нельзя.
Если перелезать только через заборы между участками, то вершин нечётной степени две — участки 4 и 5, и обойти можно, например, так: 4, 1, 3, 2, 5, 3, 4, 5.
Ответ: нет; если считать только заборы между участками — да.
Пять участков отделены друг от друга заборами (см. план на рис. 48). Можно ли побывать на каждом участке, но при этом перелезть через каждый забор ровно один раз?
Пронумеруем участки. Через внешние заборы тоже нужно перелезть, поэтому всё, что вокруг участков, обозначим номером 0:
Построим граф: вершины — участки 1—5 и область 0 вокруг них, ребро соединяет две области, которые разделяет забор, — по одному ребру на каждый забор. У участков 4 и 5 по два внешних забора, поэтому каждую из этих вершин с вершиной 0 соединяют два ребра — кратные рёбра.
Перелезть через каждый забор ровно один раз — значит пройти по каждому ребру графа ровно один раз, то есть эйлеровым путём. Степени вершин: у вершины 0 — 7, у вершин 1 и 2 — по 3, у вершин 3, 4 и 5 — по 5; их сумма \(7 + 3 + 3 + 5 + 5 + 5 = 28\) вдвое больше числа заборов, 14. Вершин нечётной степени шесть — больше двух, поэтому эйлерова пути нет: побывать на каждом участке, перелезая через каждый забор ровно один раз, нельзя.
Если перелезать только через заборы между участками, то вершин нечётной степени две — участки 4 и 5, и обойти можно, например, так: 4, 1, 3, 2, 5, 3, 4, 5.
Ответ: нет; если считать только заборы между участками — да.
