Страница 132 номер 216, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Предположим, что \(N\) — некоторое натуральное число. Найдите равносильные утверждения. \(A\): «Число \(N\) чётное». \(B\): «Число \(N\) равно \(2k\) для некоторого натурального числа \(k\)». \(C\): «Число \(N\) даёт остаток 2 при делении на 4». \(D\): «Число \(N\) заканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8». \(E\): «Число \(N\) делится на 2, но не делится на 4».
Если из первого утверждения следует второе, а из второго — первое, то они одновременно истинны или одновременно ложны, то есть равносильны.
По признаку делимости на 2 число, которое оканчивается цифрой 0, 2, 4, 6 или 8, чётно, а число, которое оканчивается цифрой 1, 3, 5, 7 или 9, нечётно. Значит, при каждом \(N\) утверждения \(A\) и \(D\) одновременно истинны или одновременно ложны — они равносильны.
Если \(N\) чётно, то \(N \geqslant 2\), поэтому \(k = N : 2\) — натуральное число и \(N = 2k\): из \(A\) следует \(B\). Если \(N = 2k\) при натуральном \(k\), то \(N\) делится на 2: из \(B\) следует \(A\). Значит, утверждения \(A\) и \(B\) равносильны, и все три утверждения \(A\), \(B\), \(D\) равносильны.
Если \(N\) даёт остаток 2 при делении на 4, то \(N = 4m + 2 = 2 \cdot (2m + 1)\), где \(m\) — неполное частное: \(N\) делится на 2, а на 4 не делится, потому что остаток не равен 0. Значит, из \(C\) следует \(E\). Если же \(N\) делится на 2, но не делится на 4, то остаток от деления \(N\) на 4 не равен 0, а остатки 1 и 3 дают нечётные числа \(4m + 1\) и \(4m + 3\); остаётся остаток 2, то есть из \(E\) следует \(C\). Значит, утверждения \(C\) и \(E\) равносильны.
Утверждения из этих двух групп не равносильны: при \(N = 4\) утверждения \(A\), \(B\) и \(D\) истинны (\(4 = 2 \cdot 2\), число оканчивается цифрой 4), а \(C\) и \(E\) ложны (4 делится на 4 без остатка).
Ответ: равносильны утверждения \(A\), \(B\) и \(D\); равносильны утверждения \(C\) и \(E\).
Предположим, что \(N\) — некоторое натуральное число. Найдите равносильные утверждения. \(A\): «Число \(N\) чётное». \(B\): «Число \(N\) равно \(2k\) для некоторого натурального числа \(k\)». \(C\): «Число \(N\) даёт остаток 2 при делении на 4». \(D\): «Число \(N\) заканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8». \(E\): «Число \(N\) делится на 2, но не делится на 4».
Утверждения о числе \(N\) равносильны, если при каждом натуральном \(N\) они одновременно истинны или одновременно ложны. Так бывает, когда из первого утверждения следует второе, а из второго — первое: тогда, если одно из них истинно, истинно и другое, а если одно ложно, ложно и другое.
По признаку делимости на 2 число, которое оканчивается цифрой 0, 2, 4, 6 или 8, чётно, а число, которое оканчивается цифрой 1, 3, 5, 7 или 9, нечётно. Значит, при каждом \(N\) утверждения \(A\) и \(D\) одновременно истинны или одновременно ложны — они равносильны.
Если \(N\) чётно, то \(N \geqslant 2\), поэтому \(k = N : 2\) — натуральное число и \(N = 2k\): из \(A\) следует \(B\). Если \(N = 2k\) при натуральном \(k\), то \(N\) делится на 2: из \(B\) следует \(A\). Значит, утверждения \(A\) и \(B\) равносильны, и все три утверждения \(A\), \(B\), \(D\) равносильны.
Если \(N\) даёт остаток 2 при делении на 4, то \(N = 4m + 2 = 2 \cdot (2m + 1)\), где \(m\) — неполное частное: \(N\) делится на 2, а на 4 не делится, потому что остаток не равен 0. Значит, из \(C\) следует \(E\). Если же \(N\) делится на 2, но не делится на 4, то остаток от деления \(N\) на 4 не равен 0, а остатки 1 и 3 дают нечётные числа \(4m + 1\) и \(4m + 3\); остаётся остаток 2, то есть из \(E\) следует \(C\). Значит, утверждения \(C\) и \(E\) равносильны.
Утверждения из этих двух групп не равносильны: при \(N = 4\) утверждения \(A\), \(B\) и \(D\) истинны (\(4 = 2 \cdot 2\), число оканчивается цифрой 4), а \(C\) и \(E\) ложны (4 делится на 4 без остатка).
Ответ: равносильны утверждения \(A\), \(B\) и \(D\); равносильны утверждения \(C\) и \(E\).
