Вопросы после параграфа §25 на странице 116, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Высоцкого часть 1
Например, в треугольнике \(ABC\) путь \(ABCA\) проходит по каждому из трёх рёбер по одному разу — это эйлеров путь, и треугольник — эйлеров граф.
Ответ: эйлеров путь — путь, проходящий по каждому ребру графа ровно один раз; эйлеров граф — граф, в котором есть эйлеров путь.
Все рёбра эйлерова графа лежат на одном пути — эйлеровом. Поэтому любые две вершины, из которых выходят рёбра, соединены путём: частью эйлерова пути между ними. Значит, несвязным эйлеров граф бывает только тогда, когда в нём есть изолированные вершины. Например, граф из треугольника \(ABC\) и отдельной вершины \(D\) несвязный, но эйлеров: путь \(ABCA\) проходит по каждому ребру один раз.
Ответ: может, но только за счёт изолированных вершин.
В эйлеровом графе есть путь, проходящий по каждому ребру ровно один раз. Проходя через промежуточную вершину, путь входит в неё по одному ребру и выходит по другому — это добавляет к её степени 2. Поэтому степень каждой промежуточной вершины чётна; если путь начинается и заканчивается в разных вершинах, их степени нечётны, а если в одной — чётна и её степень.
Вершин нечётной степени может не быть: например, в треугольнике \(ABC\) степень каждой вершины равна 2, а путь \(ABCA\) — эйлеров.
Ровно одной вершины нечётной степени не бывает ни в каком графе: у каждого ребра два конца, поэтому сумма степеней всех вершин вдвое больше числа рёбер, то есть чётна, а при одной нечётной степени она была бы нечётной.
Две вершины нечётной степени быть могут: в графе из двух рёбер \(AB\) и \(BC\) степени вершин \(A\) и \(C\) равны 1, а путь \(ABC\) — эйлеров.
Трёх и больше вершин нечётной степени в эйлеровом графе быть не может: нечётными бывают только степени начала и конца пути — не больше двух вершин.
Ответ: вершин нечётной степени может не быть; одна — не может; две — может; три или больше — не может.
Эйлеров путь — путь, который проходит по каждому ребру графа ровно один раз. Эйлеровым называют граф, в котором есть эйлеров путь. Например, в треугольнике \(ABC\) путь \(ABCA\) проходит по каждому из трёх рёбер по одному разу — это эйлеров путь, и треугольник — эйлеров граф.
Ответ: эйлеров путь — путь, проходящий по каждому ребру графа ровно один раз; эйлеров граф — граф, в котором есть эйлеров путь.
Все рёбра эйлерова графа лежат на одном пути — эйлеровом. Поэтому любые две вершины, из которых выходят рёбра, соединены путём: частью эйлерова пути между ними. Значит, несвязным эйлеров граф бывает только тогда, когда в нём есть изолированные вершины. Например, граф из треугольника \(ABC\) и отдельной вершины \(D\) несвязный, но эйлеров: путь \(ABCA\) проходит по каждому ребру один раз.
Ответ: может, но только за счёт изолированных вершин.
В эйлеровом графе есть путь, проходящий по каждому ребру ровно один раз. Проходя через промежуточную вершину, путь входит в неё по одному ребру и выходит по другому — это добавляет к её степени 2. Поэтому степень каждой промежуточной вершины чётна; если путь начинается и заканчивается в разных вершинах, их степени нечётны, а если в одной — чётна и её степень.
Вершин нечётной степени может не быть: например, в треугольнике \(ABC\) степень каждой вершины равна 2, а путь \(ABCA\) — эйлеров.
Ровно одной вершины нечётной степени не бывает ни в каком графе: у каждого ребра два конца, поэтому сумма степеней всех вершин вдвое больше числа рёбер, то есть чётна, а при одной нечётной степени она была бы нечётной.
Две вершины нечётной степени быть могут: в графе из двух рёбер \(AB\) и \(BC\) степени вершин \(A\) и \(C\) равны 1, а путь \(ABC\) — эйлеров.
Трёх и больше вершин нечётной степени в эйлеровом графе быть не может: нечётными бывают только степени начала и конца пути — не больше двух вершин.
Ответ: вершин нечётной степени может не быть; одна — не может; две — может; три или больше — не может.
