Страница 117 номер 179, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Придумайте способ обвести фигуру, изображённую на рисунке 47, одним росчерком (не отрывая карандаша от бумаги и не проводя одну линию дважды).
Фигура — граф: вершины — концы линий и точки, где линии пересекаются (в них можно свернуть), рёбра — части линий между вершинами.
а) Обозначим вершины восьмиугольника по кругу: \(A\) — верхняя, дальше по часовой стрелке \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\), \(G\), \(H\). Из каждой вершины восьмиугольника выходят четыре линии — две стороны и два внутренних отрезка; через каждую из 16 точек пересечения проходят два отрезка, так что из неё тоже выходят четыре линии. Все степени чётные, фигура связная, поэтому обвести её одним росчерком можно, причём закончить там же, где начали. Внутренние отрезки соединяют каждую вершину с вершинами, отстоящими от неё на три стороны, и вместе образуют одну замкнутую линию — звезду \(ADGBEHCFA\). Начнём в вершине \(A\), обведём звезду (точки пересечения проходим насквозь) и вернёмся в \(A\), затем обойдём восьмиугольник по сторонам: \(ABCDEFGHA\) (номер у отрезка — его место в обходе):
Каждый из 16 отрезков пройден ровно один раз: восемь внутренних — при обходе звезды, восемь сторон — при обходе восьмиугольника.
б) Вершины — 14 точек пересечения окружностей; через каждую проходят две окружности, поэтому из каждой вершины выходят четыре дуги. Все степени чётные, фигура связная, поэтому обвести её одним росчерком можно, закончив в начальной точке. Назовём окружности: верхние — В1 (левая) и В2 (правая), нижние — Н1, Н2, Н3 (слева направо). Отметим пять точек пересечения на краю фигуры: \(A\) — верхняя точка пересечения В1 и В2, \(B\) — правая точка пересечения В2 и Н3, \(C\) — нижняя точка пересечения Н2 и Н3, \(D\) — нижняя точка пересечения Н1 и Н2, \(E\) — левая точка пересечения В1 и Н1. На каждой окружности лежат две из них и делят её на две дуги: внешнюю, по краю фигуры, и внутреннюю. Начнём в точке \(A\) и обойдём фигуру по краю: по В2 до \(B\), по Н3 до \(C\), по Н2 до \(D\), по Н1 до \(E\), по В1 обратно до \(A\). Внутренние дуги тоже составляют замкнутую линию: из \(A\) по В1 до \(E\), по Н1 до \(D\), по Н2 до \(C\), по Н3 до \(B\), по В2 до \(A\) (точки пересечения внутри фигуры проходим насквозь; номер у дуги — её место в обходе):
Каждая окружность обведена целиком — внешняя дуга при обходе по краю, внутренняя во второй части пути, — и ни одна дуга не пройдена дважды.
Придумайте способ обвести фигуру, изображённую на рисунке 47, одним росчерком (не отрывая карандаша от бумаги и не проводя одну линию дважды).
Фигура — граф: вершины — концы линий и точки, где линии пересекаются (в них можно свернуть), рёбра — части линий между вершинами. Обвести фигуру одним росчерком — значит пройти по каждому ребру ровно один раз, то есть эйлеровым путём.
а) Обозначим вершины восьмиугольника по кругу: \(A\) — верхняя, дальше по часовой стрелке \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\), \(G\), \(H\). Из каждой вершины восьмиугольника выходят четыре линии — две стороны и два внутренних отрезка; через каждую из 16 точек пересечения проходят два отрезка, так что из неё тоже выходят четыре линии. Все степени чётные, фигура связная, поэтому обвести её одним росчерком можно, причём закончить там же, где начали. Внутренние отрезки соединяют каждую вершину с вершинами, отстоящими от неё на три стороны, и вместе образуют одну замкнутую линию — звезду \(ADGBEHCFA\). Начнём в вершине \(A\), обведём звезду (точки пересечения проходим насквозь) и вернёмся в \(A\), затем обойдём восьмиугольник по сторонам: \(ABCDEFGHA\) (номер у отрезка — его место в обходе):
Каждый из 16 отрезков пройден ровно один раз: восемь внутренних — при обходе звезды, восемь сторон — при обходе восьмиугольника.
б) Вершины — 14 точек пересечения окружностей; через каждую проходят две окружности, поэтому из каждой вершины выходят четыре дуги. Все степени чётные, фигура связная, поэтому обвести её одним росчерком можно, закончив в начальной точке. Назовём окружности: верхние — В1 (левая) и В2 (правая), нижние — Н1, Н2, Н3 (слева направо). Отметим пять точек пересечения на краю фигуры: \(A\) — верхняя точка пересечения В1 и В2, \(B\) — правая точка пересечения В2 и Н3, \(C\) — нижняя точка пересечения Н2 и Н3, \(D\) — нижняя точка пересечения Н1 и Н2, \(E\) — левая точка пересечения В1 и Н1. На каждой окружности лежат две из них и делят её на две дуги: внешнюю, по краю фигуры, и внутреннюю. Начнём в точке \(A\) и обойдём фигуру по краю: по В2 до \(B\), по Н3 до \(C\), по Н2 до \(D\), по Н1 до \(E\), по В1 обратно до \(A\). Внутренние дуги тоже составляют замкнутую линию: из \(A\) по В1 до \(E\), по Н1 до \(D\), по Н2 до \(C\), по Н3 до \(B\), по В2 до \(A\) (точки пересечения внутри фигуры проходим насквозь; номер у дуги — её место в обходе):
Каждая окружность обведена целиком — внешняя дуга при обходе по краю, внутренняя во второй части пути, — и ни одна дуга не пройдена дважды.
