Страница 120 номер 188, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Выпишите в ряд цифры от 1 до 9 так, чтобы любое двузначное число, записанное двумя последовательными цифрами, делилось либо на 7, либо на 13.
Сопоставим каждой цифре от 1 до 9 вершину; стрелка ведёт от одной цифры к другой, если двузначное число, в котором первая из них — цифра десятков, а вторая — цифра единиц, делится на 7 или на 13. Двузначные числа без нуля, кратные 7, — 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 77, 84, 91, 98; кратные 13 — 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91. Число 77 не подходит: цифры в ряду не повторяются. Стрелки: из 1 — к 3 и 4; из 2 — к 1, 6 и 8; из 3 — к 5 и 9; из 4 — к 2 и 9; из 5 — к 2 и 6; из 6 — к 3 и 5; из 7 — к 8; из 8 — к 4; из 9 — к 1 и 8.
В вершину 7 не входит ни одна стрелка, поэтому перед цифрой 7 ничего стоять не может — ряд начинается с 7. Из 7 стрелка ведёт только к 8, из 8 — только к 4: ряд начинается так: 7, 8, 4. После 4 может стоять 2 или 9.
Если после 4 стоит 2, ряд до конца не выписать: продолжения 7, 8, 4, 2, 1, 3, 5, 6; 7, 8, 4, 2, 1, 3, 9; 7, 8, 4, 2, 6, 3, 5; 7, 8, 4, 2, 6, 3, 9, 1 и 7, 8, 4, 2, 6, 5 обрываются — из последней цифры стрелки ведут только к уже выписанным цифрам, а выписаны не все.
Если после 4 стоит 9, то дальше может стоять только 1 (8 уже выписана), затем только 3 (4 уже выписана), затем только 5 (9 уже выписана), затем 6 или 2. После 6 продолжить нельзя: стрелки из 6 ведут к 3 и 5, а они уже выписаны. После 2 остаётся цифра 6, и стрелка из 2 к 6 есть. Получается ряд 7, 8, 4, 9, 1, 3, 5, 2, 6, и других таких рядов нет.
Проверка: 78, 13, 52 и 26 делятся на 13, а 84, 49, 91 и 35 — на 7.
Ответ: 784913526.
Выпишите в ряд цифры от 1 до 9 так, чтобы любое двузначное число, записанное двумя последовательными цифрами, делилось либо на 7, либо на 13.
Сопоставим каждой цифре от 1 до 9 вершину; стрелка ведёт от одной цифры к другой, если двузначное число, в котором первая из них — цифра десятков, а вторая — цифра единиц, делится на 7 или на 13. Двузначные числа без нуля, кратные 7, — 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 77, 84, 91, 98; кратные 13 — 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91. Число 77 не подходит: цифры в ряду не повторяются. Стрелки: из 1 — к 3 и 4; из 2 — к 1, 6 и 8; из 3 — к 5 и 9; из 4 — к 2 и 9; из 5 — к 2 и 6; из 6 — к 3 и 5; из 7 — к 8; из 8 — к 4; из 9 — к 1 и 8.
Нужный ряд — маршрут по стрелкам, который проходит через каждую вершину ровно один раз. В вершину 7 не входит ни одна стрелка, поэтому перед цифрой 7 ничего стоять не может — ряд начинается с 7. Из 7 стрелка ведёт только к 8, из 8 — только к 4: ряд начинается так: 7, 8, 4. После 4 может стоять 2 или 9.
Если после 4 стоит 2, ряд до конца не выписать: продолжения 7, 8, 4, 2, 1, 3, 5, 6; 7, 8, 4, 2, 1, 3, 9; 7, 8, 4, 2, 6, 3, 5; 7, 8, 4, 2, 6, 3, 9, 1 и 7, 8, 4, 2, 6, 5 обрываются — из последней цифры стрелки ведут только к уже выписанным цифрам, а выписаны не все.
Если после 4 стоит 9, то дальше может стоять только 1 (8 уже выписана), затем только 3 (4 уже выписана), затем только 5 (9 уже выписана), затем 6 или 2. После 6 продолжить нельзя: стрелки из 6 ведут к 3 и 5, а они уже выписаны. После 2 остаётся цифра 6, и стрелка из 2 к 6 есть. Получается ряд 7, 8, 4, 9, 1, 3, 5, 2, 6, и других таких рядов нет.
Проверка: 78, 13, 52 и 26 делятся на 13, а 84, 49, 91 и 35 — на 7.
Ответ: 784913526.
