Страница 132 номер 215, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Пусть \(N\) — натуральное число. Даны утверждения: \(A\): «\(N\) делится на 3», \(B\): «\(N\) делится на 9», \(C\): «Сумма цифр числа \(N\) делится на 3», \(D\): «Сумма цифр числа \(N\) делится на 9», \(E\): «Число \(N\) является натуральной степенью числа 2». Составьте из этих утверждений два взаимно обратных условных утверждения: а) так, чтобы оба были истинными высказываниями; б) так, чтобы одно из них было истинным, а обратное могло оказаться ложным; в) так, чтобы оба утверждения оказались ложными высказываниями.
а) Например, \(A \to C\) и \(C \to A\). Второе утверждение — признак делимости на 3, первое — свойство чисел, которые делятся на 3; оба истинны при любом натуральном \(N\).
б) Например, \(D \to A\) и \(A \to D\). Первое истинно: сумма цифр, которая делится на 9, делится и на 3, и по признаку делимости на 3 число \(N\) делится на 3. Обратное ему ложно при \(N = 3\): число 3 делится на 3, а сумма его цифр, равная 3, на 9 не делится.
в) Например, \(E \to C\) и \(C \to E\). Первое ложно при \(N = 4\): \(4 = 2^2\), а сумма цифр числа 4 на 3 не делится. Второе ложно при \(N = 3\): сумма цифр числа 3 делится на 3, а само число 3 не является степенью числа 2 (\(2^1 = 2\), \(2^2 = 4\)).
Ответ: а) например, \(A \to C\) и \(C \to A\); б) например, \(D \to A\) и \(A \to D\); в) например, \(E \to C\) и \(C \to E\).
Пусть \(N\) — натуральное число. Даны утверждения: \(A\): «\(N\) делится на 3», \(B\): «\(N\) делится на 9», \(C\): «Сумма цифр числа \(N\) делится на 3», \(D\): «Сумма цифр числа \(N\) делится на 9», \(E\): «Число \(N\) является натуральной степенью числа 2». Составьте из этих утверждений два взаимно обратных условных утверждения: а) так, чтобы оба были истинными высказываниями; б) так, чтобы одно из них было истинным, а обратное могло оказаться ложным; в) так, чтобы оба утверждения оказались ложными высказываниями.
а) Например, \(A \to C\) и \(C \to A\): «Если \(N\) делится на 3, то сумма цифр числа \(N\) делится на 3» и «Если сумма цифр числа \(N\) делится на 3, то \(N\) делится на 3». Второе утверждение — признак делимости на 3, первое — свойство чисел, которые делятся на 3; оба истинны при любом натуральном \(N\).
б) Например, \(D \to A\) и \(A \to D\): «Если сумма цифр числа \(N\) делится на 9, то \(N\) делится на 3» и «Если \(N\) делится на 3, то сумма цифр числа \(N\) делится на 9». Первое истинно: сумма цифр, которая делится на 9, делится и на 3, и по признаку делимости на 3 число \(N\) делится на 3. Обратное ему ложно при \(N = 3\): число 3 делится на 3, а сумма его цифр, равная 3, на 9 не делится.
в) Например, \(E \to C\) и \(C \to E\): «Если \(N\) является натуральной степенью числа 2, то сумма цифр числа \(N\) делится на 3» и «Если сумма цифр числа \(N\) делится на 3, то \(N\) является натуральной степенью числа 2». Первое ложно при \(N = 4\): \(4 = 2^2\), а сумма цифр числа 4 на 3 не делится. Второе ложно при \(N = 3\): сумма цифр числа 3 делится на 3, а само число 3 не является степенью числа 2 (\(2^1 = 2\), \(2^2 = 4\)).
Ответ: а) например, \(A \to C\) и \(C \to A\); б) например, \(D \to A\) и \(A \to D\); в) например, \(E \to C\) и \(C \to E\).
