Страница 116 номер 177, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Какими цифрами на рисунке 45 обозначены эйлеровы графы?
Вершины на рисунке не подписаны, поэтому в каждом графе обозначим их буквами по положению.
В графе 1: \(A\) — верхняя, \(B\) — левая верхняя, \(C\) — правая, \(D\) — в середине, \(E\) — левая, \(F\) — нижняя. Рёбра: \(AB\), \(AC\), \(CD\), \(BD\), \(BE\), \(EF\), \(DF\). Степени вершин: \(A\) — 2, \(B\) — 3, \(C\) — 2, \(D\) — 3, \(E\) — 2, \(F\) — 2. Нечётные степени только у вершин \(B\) и \(D\), поэтому эйлеров путь может идти только из одной из них в другую. Такой путь есть: \(BACDBEFD\) — в нём все семь рёбер, и ни одно не повторяется. Граф 1 эйлеров.
В графе 2: \(A\) — верхняя левая, \(B\) — верхняя правая, \(C\) — правая, \(D\) — левая, \(E\) — нижняя. Рёбра: \(DB\), \(BC\), \(CA\), \(AE\), \(ED\); точки, где рёбра пересекаются, — не вершины. Степень каждой вершины равна 2, и все пять рёбер составляют замкнутый путь \(DBCAED\) — он эйлеров. Граф 2 эйлеров.
Граф 3 несвязный: пятиугольник и две вершины внутри него, соединённые двумя рёбрами, — отдельные части, и путь из одной части в другую не ведёт. Поэтому ни один путь не пройдёт по рёбрам обеих частей, хотя степени всех вершин чётные. Граф 3 не эйлеров.
В графе 4: \(A\) — верхняя, \(B\) — под ней, \(C\) — левая, \(D\) — правая, \(E\) — в середине, \(F\) — левая нижняя, \(G\) — нижняя. Рёбра: \(AB\), \(AD\), \(BD\), \(BC\), \(CD\), \(CE\), \(DE\), \(EF\), \(CF\), \(FG\), \(DG\). Степени вершин: \(A\) — 2, \(B\) — 3, \(C\) — 4, \(D\) — 5, \(E\) — 3, \(F\) — 3, \(G\) — 2; их сумма \(2 + 3 + 4 + 5 + 3 + 3 + 2 = 22\) вдвое больше числа рёбер, 11. Вершин нечётной степени четыре — \(B\), \(D\), \(E\), \(F\) — больше двух, поэтому эйлерова пути нет. Граф 4 не эйлеров.
Ответ: 1, 2.
Какими цифрами на рисунке 45 обозначены эйлеровы графы?
Граф эйлеров, если в нём есть путь, проходящий по каждому ребру ровно один раз. Вершины на рисунке не подписаны, поэтому в каждом графе обозначим их буквами по положению.
В графе 1: \(A\) — верхняя, \(B\) — левая верхняя, \(C\) — правая, \(D\) — в середине, \(E\) — левая, \(F\) — нижняя. Рёбра: \(AB\), \(AC\), \(CD\), \(BD\), \(BE\), \(EF\), \(DF\). Степени вершин: \(A\) — 2, \(B\) — 3, \(C\) — 2, \(D\) — 3, \(E\) — 2, \(F\) — 2. Нечётные степени только у вершин \(B\) и \(D\), поэтому эйлеров путь может идти только из одной из них в другую. Такой путь есть: \(BACDBEFD\) — в нём все семь рёбер, и ни одно не повторяется. Граф 1 эйлеров.
В графе 2: \(A\) — верхняя левая, \(B\) — верхняя правая, \(C\) — правая, \(D\) — левая, \(E\) — нижняя. Рёбра: \(DB\), \(BC\), \(CA\), \(AE\), \(ED\); точки, где рёбра пересекаются, — не вершины. Степень каждой вершины равна 2, и все пять рёбер составляют замкнутый путь \(DBCAED\) — он эйлеров. Граф 2 эйлеров.
Граф 3 несвязный: пятиугольник и две вершины внутри него, соединённые двумя рёбрами, — отдельные части, и путь из одной части в другую не ведёт. Поэтому ни один путь не пройдёт по рёбрам обеих частей, хотя степени всех вершин чётные. Граф 3 не эйлеров.
В графе 4: \(A\) — верхняя, \(B\) — под ней, \(C\) — левая, \(D\) — правая, \(E\) — в середине, \(F\) — левая нижняя, \(G\) — нижняя. Рёбра: \(AB\), \(AD\), \(BD\), \(BC\), \(CD\), \(CE\), \(DE\), \(EF\), \(CF\), \(FG\), \(DG\). Степени вершин: \(A\) — 2, \(B\) — 3, \(C\) — 4, \(D\) — 5, \(E\) — 3, \(F\) — 3, \(G\) — 2; их сумма \(2 + 3 + 4 + 5 + 3 + 3 + 2 = 22\) вдвое больше числа рёбер, 11. Вершин нечётной степени четыре — \(B\), \(D\), \(E\), \(F\) — больше двух, поэтому эйлерова пути нет. Граф 4 не эйлеров.
Ответ: 1, 2.
