Страница 114 номер 175, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Можно ли выписать в ряд натуральные числа от 1 до 9 так, чтобы сумма любых двух, стоящих рядом, делилась на 5 или на 12?
Сопоставим каждому из чисел от 1 до 9 вершину; ребро соединяет два числа, если их сумма делится на 5 или на 12. Сумма двух разных чисел от 1 до 9 — от 3 до 17, а из этих чисел на 5 или на 12 делятся только 5, 10, 12 и 15. Поэтому рёбра такие: сумма 5 — у пар 1 и 4, 2 и 3; сумма 10 — у пар 1 и 9, 2 и 8, 3 и 7, 4 и 6; сумма 12 — у пар 3 и 9, 4 и 8, 5 и 7; сумма 15 — у пар 6 и 9, 7 и 8.
Соседи вершин: 1 — 4 и 9; 2 — 3 и 8; 3 — 2, 7 и 9; 4 — 1, 6 и 8; 5 — 7; 6 — 4 и 9; 7 — 3, 5 и 8; 8 — 2, 4 и 7; 9 — 1, 3 и 6.
Ряд подходит, если любые два числа, стоящие в нём рядом, соединены ребром, то есть ряд — цепь, которая проходит через все девять вершин. У числа 5 только один сосед — 7, поэтому 5 может стоять лишь с краю ряда, рядом с 7. Начнём ряд с 5 и 7 и дальше будем переходить к ещё не взятому соседу: из 7 — в 3, из 3 — в 2, из 2 — в 8, из 8 — в 4, из 4 — в 6, из 6 — в 9, из 9 — в 1. Получился ряд 5, 7, 3, 2, 8, 4, 6, 9, 1, в котором каждое число от 1 до 9 стоит ровно один раз.
Проверка: \(5 + 7 = 12\), \(7 + 3 = 10\), \(3 + 2 = 5\), \(2 + 8 = 10\), \(8 + 4 = 12\), \(4 + 6 = 10\), \(6 + 9 = 15\), \(9 + 1 = 10\) — каждая сумма делится на 5 или на 12.
Ответ: да, например: 5, 7, 3, 2, 8, 4, 6, 9, 1.
