Страница 67 номер 7.33, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите неравенство \((\sqrt{x + 2} + 1)\log_{3}(x^2 + 4x + 13) \ge 2\).
\(x^2 + 4x + 13 = (x + 2)^2 + 9\), и это выражение положительно при всех значениях \(x\), поэтому ОДЗ задаётся только условием \(x + 2 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant -2\).
Так как \(\sqrt{x + 2} \geqslant 0\), то \(\sqrt{x + 2} + 1 \geqslant 1\).
Так как \((x + 2)^2 \geqslant 0\), то \(x^2 + 4x + 13 \geqslant 9\). Основание 3 больше единицы, поэтому \(\log_{3}(x^2 + 4x + 13) \geqslant \log_{3} 9\), то есть \(\log_{3}(x^2 + 4x + 13) \geqslant 2\).
Второй множитель положителен, поэтому, умножив на него обе части неравенства \(\sqrt{x + 2} + 1 \geqslant 1\), получим \[\left(\sqrt{x + 2} + 1\right)\log_{3}(x^2 + 4x + 13) \geqslant \log_{3}(x^2 + 4x + 13) \geqslant 2.\]
Неравенство верно при каждом значении \(x\) из ОДЗ.
Ответ: \([-2;\ +\infty)\).
Решите неравенство \((\sqrt{x + 2} + 1)\log_{3}(x^2 + 4x + 13) \ge 2\).
Выделим в трёхчлене под знаком логарифма квадрат двучлена: \(x^2 + 4x + 13 = (x + 2)^2 + 9\). Это выражение положительно при всех значениях \(x\), поэтому область определения неравенства задаётся только условием \(x + 2 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant -2\).
Оценим каждый множитель на области определения. Так как \(\sqrt{x + 2} \geqslant 0\), то \(\sqrt{x + 2} + 1 \geqslant 1\).
Так как \((x + 2)^2 \geqslant 0\), то \(x^2 + 4x + 13 \geqslant 9\). Логарифмическая функция с основанием 3 возрастающая, поэтому \(\log_{3}(x^2 + 4x + 13) \geqslant \log_{3} 9\), то есть \(\log_{3}(x^2 + 4x + 13) \geqslant 2\).
Второй множитель положителен, поэтому, умножив на него обе части неравенства \(\sqrt{x + 2} + 1 \geqslant 1\), получим \[\left(\sqrt{x + 2} + 1\right)\log_{3}(x^2 + 4x + 13) \geqslant \log_{3}(x^2 + 4x + 13) \geqslant 2.\] Значит, неравенство верно при каждом значении \(x\) из области определения.
Ответ: \([-2;\ +\infty)\).
