Вопросы после параграфа §8 на странице 71, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1. Какую функцию называют экспонентой? 2. Что называют натуральным логарифмом? 3. По каким формулам дифференцируют показательную и логарифмические функции? 4. По какой формуле можно найти производную степенной функции?
Экспонента — единственная показательная функция \(f(x) = a^{x}\), производная которой совпадает с самой функцией: \(f'(x) = f(x)\) для всех действительных значений \(x\). Её основание обозначают буквой \(e\) и записывают такую функцию в виде \(f(x) = e^{x}\): \[(e^{x})' = e^{x}.\]
Число \(e\) иррациональное: \(e = 2{,}71828182845\ldots\) Для экспоненты \(f'(0) = f(0) = e^{0} = 1\), поэтому касательная к её графику в точке с абсциссой, равной нулю, имеет угловой коэффициент 1 и образует с положительным направлением оси абсцисс угол \(45^\circ\).
Ответ: экспонентой называют функцию \(f(x) = e^{x}\) — единственную показательную функцию, для которой \(f'(x) = f(x)\) при всех действительных значениях \(x\); её основание \(e\) — иррациональное число, \(e = 2{,}71828182845\ldots\)
Натуральный логарифм положительного числа \(a\) — его логарифм по основанию \(e\): вместо \(\log_{e} a\) пишут \(\ln a\).
Свойства логарифма сохраняются: \(\ln 1 = 0\), \(\ln e = 1\), \(e^{\ln a} = a\) при \(a > 0\), \(\ln xy = \ln x + \ln y\) при \(x > 0\) и \(y > 0\). Например, \(\ln e^{5} = 5\), \(\ln \frac{1}{e} = -1\).
Натуральный логарифм входит в формулы производных: \((a^{x})' = a^{x}\ln a\) и \((\log_{a} x)' = \frac{1}{x\ln a}\).
Ответ: натуральным логарифмом положительного числа \(a\) называют его логарифм по основанию \(e\); обозначают его \(\ln a\), то есть \(\ln a = \log_{e} a\).
Показательная функция: \((a^{x})' = a^{x}\ln a\), где \(a > 0\) и \(a \ne 1\); при основании, равном \(e\), множитель \(\ln e\) равен единице, и \((e^{x})' = e^{x}\).
Логарифмическая функция: \((\log_{a} x)' = \frac{1}{x\ln a}\), где \(a > 0\), \(a \ne 1\), \(x > 0\); при основании, равном \(e\), отсюда \((\ln x)' = \frac{1}{x}\).
Например, \((3^{x})' = 3^{x}\ln 3\), \((0{,}5^{x})' = 0{,}5^{x}\ln 0{,}5\), \((\lg x)' = \frac{1}{x\ln 10}\).
Ответ: \((a^{x})' = a^{x}\ln a\), в частности \((e^{x})' = e^{x}\); \((\log_{a} x)' = \frac{1}{x\ln a}\), в частности \((\ln x)' = \frac{1}{x}\).
Степенную функцию \(f(x) = x^{\alpha}\) с областью определения \(D(f) = (0;\ +\infty)\) представляют в виде \(f(x) = e^{\alpha\ln x}\): \[(x^{\alpha})' = (e^{\alpha\ln x})' = e^{\alpha\ln x} \cdot \frac{\alpha}{x} = x^{\alpha} \cdot \frac{\alpha}{x} = \alpha x^{\alpha - 1}.\]
Формула верна для любого действительного показателя \(\alpha\), а не только для натурального. Например, \(\left(x^{\sqrt{2}}\right)' = \sqrt{2}\,x^{\sqrt{2} - 1}\), \(\left(x^{-\frac{1}{3}}\right)' = -\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}}\) при \(x > 0\).
Ответ: \((x^{\alpha})' = \alpha x^{\alpha - 1}\), где \(\alpha\) — произвольное действительное число, а область определения степенной функции — промежуток \((0;\ +\infty)\).
1. Какую функцию называют экспонентой? 2. Что называют натуральным логарифмом? 3. По каким формулам дифференцируют показательную и логарифмические функции? 4. По какой формуле можно найти производную степенной функции?
Среди показательных функций \(f(x) = a^{x}\) существует единственная функция, производная которой совпадает с самой функцией, то есть \(f'(x) = f(x)\) для всех действительных значений \(x\). Основание степени такой функции обозначают буквой \(e\), саму функцию записывают в виде \(f(x) = e^{x}\) и называют экспонентой. Для неё выполняется равенство \[(e^{x})' = e^{x}.\]
Число \(e\) иррациональное: \(e = 2{,}71828182845\ldots\) Для экспоненты \(f'(0) = f(0) = e^{0} = 1\), поэтому касательная к её графику в точке с абсциссой, равной нулю, имеет угловой коэффициент 1 и образует с положительным направлением оси абсцисс угол \(45^\circ\).
Ответ: экспонентой называют функцию \(f(x) = e^{x}\) — единственную показательную функцию, для которой \(f'(x) = f(x)\) при всех действительных значениях \(x\); её основание \(e\) — иррациональное число, \(e = 2{,}71828182845\ldots\)
Натуральным логарифмом положительного числа \(a\) называют логарифм этого числа по основанию \(e\). Вместо \(\log_{e} a\) пишут \(\ln a\), то есть \(\log_{e} a = \ln a\).
Все свойства логарифма сохраняются и для натурального логарифма: \(\ln 1 = 0\), \(\ln e = 1\), \(e^{\ln a} = a\) при \(a > 0\), \(\ln xy = \ln x + \ln y\) при \(x > 0\) и \(y > 0\). Например, \(\ln e^{5} = 5\), \(\ln \frac{1}{e} = -1\).
Натуральный логарифм входит в формулы производных показательной и логарифмической функций: \((a^{x})' = a^{x}\ln a\) и \((\log_{a} x)' = \frac{1}{x\ln a}\).
Ответ: натуральным логарифмом положительного числа \(a\) называют его логарифм по основанию \(e\); обозначают его \(\ln a\), то есть \(\ln a = \log_{e} a\).
Производную показательной функции находят по формуле \((a^{x})' = a^{x}\ln a\), где \(a > 0\) и \(a \ne 1\). При основании, равном \(e\), множитель \(\ln e\) равен единице, и формула принимает вид \((e^{x})' = e^{x}\).
Производную логарифмической функции находят по формуле \((\log_{a} x)' = \frac{1}{x\ln a}\), где \(a > 0\), \(a \ne 1\), \(x > 0\). При основании, равном \(e\), отсюда получается \((\ln x)' = \frac{1}{x}\).
Например, \((3^{x})' = 3^{x}\ln 3\), \((0{,}5^{x})' = 0{,}5^{x}\ln 0{,}5\), \((\lg x)' = \frac{1}{x\ln 10}\).
Ответ: \((a^{x})' = a^{x}\ln a\), в частности \((e^{x})' = e^{x}\); \((\log_{a} x)' = \frac{1}{x\ln a}\), в частности \((\ln x)' = \frac{1}{x}\).
Степенную функцию \(f(x) = x^{\alpha}\) с областью определения \(D(f) = (0;\ +\infty)\) представляют в виде сложной функции \(f(x) = e^{\alpha\ln x}\) и дифференцируют: \[(x^{\alpha})' = (e^{\alpha\ln x})' = e^{\alpha\ln x} \cdot \frac{\alpha}{x} = x^{\alpha} \cdot \frac{\alpha}{x} = \alpha x^{\alpha - 1}.\]
Формула \((x^{\alpha})' = \alpha x^{\alpha - 1}\) верна для любого действительного показателя \(\alpha\), а не только для натурального. Например, \(\left(x^{\sqrt{2}}\right)' = \sqrt{2}\,x^{\sqrt{2} - 1}\), \(\left(x^{-\frac{1}{3}}\right)' = -\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}}\) при \(x > 0\).
Ответ: \((x^{\alpha})' = \alpha x^{\alpha - 1}\), где \(\alpha\) — произвольное действительное число, а область определения степенной функции — промежуток \((0;\ +\infty)\).
