Страница 73 номер 8.15, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
У параллельных прямых угловые коэффициенты равны, поэтому \(k\) касательной равен угловому коэффициенту данной прямой.
1) \(k = e\) — угловой коэффициент прямой \(y = ex - 6\).
\(f'(x) = e^{x}\); из \(f'(x_0) = e\): \(e^{x_0} = e\); \(x_0 = 1\); \(f(x_0) = e\). Тогда \(y = e + e(x - 1)\), то есть \(y = ex\).
2) \(k = 5\) — угловой коэффициент прямой \(y = 5x + 7\).
\(f'(x) = e^{5x + 2} \cdot (5x + 2)' = 5e^{5x + 2}\); из \(f'(x_0) = 5\): \(5e^{5x_0 + 2} = 5\); \(e^{5x_0 + 2} = 1\); \(5x_0 + 2 = 0\); \(x_0 = -\frac{2}{5}\); \(f(x_0) = e^{0} = 1\). Тогда \(y = 1 + 5\left(x + \frac{2}{5}\right)\), то есть \(y = 5x + 3\).
3) \(k = -1\) — угловой коэффициент прямой \(y = -x\).
\(f'(x) = e^{-2x} \cdot (-2x)' = -2e^{-2x}\); из \(f'(x_0) = -1\): \(-2e^{-2x_0} = -1\); \(e^{-2x_0} = \frac{1}{2}\); \(-2x_0 = \ln \frac{1}{2} = -\ln 2\); \(x_0 = \frac{\ln 2}{2}\); \(f(x_0) = e^{-2x_0} = \frac{1}{2}\). Тогда \(y = \frac{1}{2} - \left(x - \frac{\ln 2}{2}\right)\), то есть \(y = -x + \frac{1}{2}\ln 2 + \frac{1}{2}\).
4) \(k = 3\) — угловой коэффициент прямой \(y = 3x - 2\).
Область определения: \(3x - 2 > 0\), то есть \(x > \frac{2}{3}\).
\(f'(x) = \frac{1}{3x - 2} \cdot (3x - 2)' = \frac{3}{3x - 2}\); из \(f'(x_0) = 3\): \(\frac{3}{3x_0 - 2} = 3\); \(3x_0 - 2 = 1\); \(x_0 = 1\), и эта абсцисса принадлежит области определения; \(f(x_0) = \ln 1 = 0\). Тогда \(y = 0 + 3(x - 1)\), то есть \(y = 3x - 3\).
Ответ: 1) \(y = ex\); 2) \(y = 5x + 3\); 3) \(y = -x + \frac{1}{2}\ln 2 + \frac{1}{2}\); 4) \(y = 3x - 3\).
Параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты, поэтому угловой коэффициент искомой касательной равен угловому коэффициенту данной прямой.
1) Угловой коэффициент прямой \(y = ex - 6\) равен числу \(e\), поэтому \(k = e\).
Найдём абсциссу \(x_0\) точки касания. Имеем: \(f'(x) = e^{x}\). Поскольку \(f'(x_0) = e\), то \(e^{x_0} = e\); \(x_0 = 1\). Отсюда \(f(x_0) = e\).
Тогда искомое уравнение имеет вид \(y = e + e(x - 1)\), то есть \(y = ex\).
2) Угловой коэффициент прямой \(y = 5x + 7\) равен 5, поэтому \(k = 5\).
Имеем: \(f'(x) = e^{5x + 2} \cdot (5x + 2)' = 5e^{5x + 2}\). Поскольку \(f'(x_0) = 5\), то \(5e^{5x_0 + 2} = 5\); \(e^{5x_0 + 2} = 1\); \(5x_0 + 2 = 0\); \(x_0 = -\frac{2}{5}\). Отсюда \(f(x_0) = e^{0} = 1\).
Тогда искомое уравнение имеет вид \(y = 1 + 5\left(x + \frac{2}{5}\right)\), то есть \(y = 5x + 3\).
3) Угловой коэффициент прямой \(y = -x\) равен \(-1\), поэтому \(k = -1\).
Имеем: \(f'(x) = e^{-2x} \cdot (-2x)' = -2e^{-2x}\). Поскольку \(f'(x_0) = -1\), то \(-2e^{-2x_0} = -1\); \(e^{-2x_0} = \frac{1}{2}\). Отсюда \(-2x_0 = \ln \frac{1}{2}\); \(-2x_0 = -\ln 2\); \(x_0 = \frac{\ln 2}{2}\). Значение функции в этой точке равно \(f(x_0) = e^{-2x_0} = \frac{1}{2}\).
Тогда искомое уравнение имеет вид \(y = \frac{1}{2} - \left(x - \frac{\ln 2}{2}\right)\), то есть \(y = -x + \frac{1}{2}\ln 2 + \frac{1}{2}\).
4) Угловой коэффициент прямой \(y = 3x - 2\) равен 3, поэтому \(k = 3\).
Область определения функции задаётся условием \(3x - 2 > 0\), откуда \(x > \frac{2}{3}\).
Имеем: \(f'(x) = \frac{1}{3x - 2} \cdot (3x - 2)' = \frac{3}{3x - 2}\). Поскольку \(f'(x_0) = 3\), то \(\frac{3}{3x_0 - 2} = 3\); \(3x_0 - 2 = 1\); \(x_0 = 1\), и эта абсцисса принадлежит области определения. Отсюда \(f(x_0) = \ln 1 = 0\).
Тогда искомое уравнение имеет вид \(y = 0 + 3(x - 1)\), то есть \(y = 3x - 3\).
Ответ: 1) \(y = ex\); 2) \(y = 5x + 3\); 3) \(y = -x + \frac{1}{2}\ln 2 + \frac{1}{2}\); 4) \(y = 3x - 3\).
