Страница 67 номер 7.34, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите неравенство \(\log_{3}(\sqrt{x - 1} + 3) \cdot \log_{5}(x^2 + x + 3) \ge 1\).
Дискриминант трёхчлена \(x^2 + x + 3\) равен \(1 - 12 = -11\), он отрицателен, а старший коэффициент положителен, поэтому \(x^2 + x + 3 > 0\) при всех значениях \(x\), и ОДЗ задаётся только условием \(x - 1 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant 1\).
Так как \(\sqrt{x - 1} \geqslant 0\), то \(\sqrt{x - 1} + 3 \geqslant 3\). Основание 3 больше единицы, поэтому \(\log_{3}\left(\sqrt{x - 1} + 3\right) \geqslant \log_{3} 3\), то есть \(\log_{3}\left(\sqrt{x - 1} + 3\right) \geqslant 1\).
Далее, \(x^2 + x + 3 - 5 = x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)\), и при \(x \geqslant 1\) оба множителя неотрицательны, поэтому \(x^2 + x + 3 \geqslant 5\). Основание 5 больше единицы, поэтому \(\log_{5}(x^2 + x + 3) \geqslant \log_{5} 5\), то есть \(\log_{5}(x^2 + x + 3) \geqslant 1\).
Второй множитель положителен, поэтому, умножив на него обе части неравенства \(\log_{3}\left(\sqrt{x - 1} + 3\right) \geqslant 1\), получим \[\log_{3}\left(\sqrt{x - 1} + 3\right) \cdot \log_{5}(x^2 + x + 3) \geqslant \log_{5}(x^2 + x + 3) \geqslant 1.\]
Неравенство верно при каждом значении \(x\) из ОДЗ.
Ответ: \([1;\ +\infty)\).
Решите неравенство \(\log_{3}(\sqrt{x - 1} + 3) \cdot \log_{5}(x^2 + x + 3) \ge 1\).
Дискриминант трёхчлена \(x^2 + x + 3\) равен \(1 - 12 = -11\), он отрицателен, а старший коэффициент положителен, поэтому \(x^2 + x + 3 > 0\) при всех значениях \(x\). Значит, область определения неравенства задаётся только условием \(x - 1 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant 1\).
Оценим каждый множитель на области определения. Так как \(\sqrt{x - 1} \geqslant 0\), то \(\sqrt{x - 1} + 3 \geqslant 3\). Логарифмическая функция с основанием 3 возрастающая, поэтому \(\log_{3}\left(\sqrt{x - 1} + 3\right) \geqslant \log_{3} 3\), то есть \(\log_{3}\left(\sqrt{x - 1} + 3\right) \geqslant 1\).
Далее, \(x^2 + x + 3 - 5 = x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)\), и при \(x \geqslant 1\) оба множителя неотрицательны, поэтому \(x^2 + x + 3 \geqslant 5\). Логарифмическая функция с основанием 5 возрастающая, поэтому \(\log_{5}(x^2 + x + 3) \geqslant \log_{5} 5\), то есть \(\log_{5}(x^2 + x + 3) \geqslant 1\).
Второй множитель положителен, поэтому, умножив на него обе части неравенства \(\log_{3}\left(\sqrt{x - 1} + 3\right) \geqslant 1\), получим \[\log_{3}\left(\sqrt{x - 1} + 3\right) \cdot \log_{5}(x^2 + x + 3) \geqslant \log_{5}(x^2 + x + 3) \geqslant 1.\] Значит, неравенство верно при каждом значении \(x\) из области определения.
Ответ: \([1;\ +\infty)\).
