Страница 67 номер 7.32, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите систему неравенств \[\begin{cases} \log_{x}(2\cos x + 1) \le 0, \\ 0 < x < 2\pi. \end{cases}\]
Основанием логарифма служит сама переменная, поэтому \(x > 0\) и \(x \ne 1\); второе неравенство системы оставляет промежуток \(0 < x < 2\pi\), на котором условие \(x > 0\) выполняется.
Так как \(0 = \log_{x} 1\), первое неравенство принимает вид \(\log_{x}(2\cos x + 1) \leqslant \log_{x} 1\). Основание зависит от \(x\), поэтому неравенство равносильно совокупности двух систем.
Первая система: \[\begin{cases} 0 < x < 1, \\ 2\cos x + 1 \geqslant 1. \end{cases}\]
Второе неравенство равносильно такому: \(\cos x \geqslant 0\). Косинус положителен на промежутке \(\left(0;\ \frac{\pi}{2}\right)\), а из \(\pi > 3\) следует, что \(\frac{\pi}{2} > 1{,}5\), и весь промежуток \(0 < x < 1\) лежит внутри промежутка \(\left(0;\ \frac{\pi}{2}\right)\). Годятся все значения \(x\) из промежутка \((0;\ 1)\).
Вторая система: \[\begin{cases} 1 < x < 2\pi, \\ 0 < 2\cos x + 1 \leqslant 1. \end{cases}\]
Двойное неравенство \(0 < 2\cos x + 1 \leqslant 1\) равносильно такому: \(-\frac{1}{2} < \cos x \leqslant 0\).
Условие \(\cos x \leqslant 0\) на промежутке \((1;\ 2\pi)\) выполняется при \(\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \frac{3\pi}{2}\). На отрезке \(\left[\frac{\pi}{2};\ \pi\right]\) косинус убывает, а \(\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}\), поэтому неравенство \(\cos x > -\frac{1}{2}\) выполняется там при \(x < \frac{2\pi}{3}\). На отрезке \(\left[\pi;\ \frac{3\pi}{2}\right]\) косинус возрастает, а \(\cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}\), поэтому неравенство \(\cos x > -\frac{1}{2}\) выполняется там при \(x > \frac{4\pi}{3}\). Вторая система даёт \[\left[\begin{array}{l} \frac{\pi}{2} \leqslant x < \frac{2\pi}{3}, \\ \frac{4\pi}{3} < x \leqslant \frac{3\pi}{2}. \end{array}\right.\]
Ответ: \((0;\ 1) \cup \left[\frac{\pi}{2};\ \frac{2\pi}{3}\right) \cup \left(\frac{4\pi}{3};\ \frac{3\pi}{2}\right]\).
Решите систему неравенств \[\begin{cases} \log_{x}(2\cos x + 1) \le 0, \\ 0 < x < 2\pi. \end{cases}\]
Основанием логарифма служит сама переменная, поэтому должны выполняться условия \(x > 0\) и \(x \ne 1\); второе неравенство системы оставляет промежуток \(0 < x < 2\pi\), на котором условие \(x > 0\) выполняется.
Так как \(0 = \log_{x} 1\), первое неравенство системы можно записать так: \(\log_{x}(2\cos x + 1) \leqslant \log_{x} 1\). Основание зависит от \(x\), поэтому неравенство равносильно совокупности двух систем.
Первая система: \[\begin{cases} 0 < x < 1, \\ 2\cos x + 1 \geqslant 1. \end{cases}\] Второе неравенство равносильно такому: \(\cos x \geqslant 0\). Косинус положителен на промежутке \(\left(0;\ \frac{\pi}{2}\right)\), а из \(\pi > 3\) следует, что \(\frac{\pi}{2} > 1{,}5\), и весь промежуток \(0 < x < 1\) лежит внутри промежутка \(\left(0;\ \frac{\pi}{2}\right)\). Значит, годятся все значения \(x\) из промежутка \((0;\ 1)\).
Вторая система: \[\begin{cases} 1 < x < 2\pi, \\ 0 < 2\cos x + 1 \leqslant 1. \end{cases}\] Двойное неравенство \(0 < 2\cos x + 1 \leqslant 1\) равносильно такому: \(-\frac{1}{2} < \cos x \leqslant 0\).
Условие \(\cos x \leqslant 0\) на промежутке \((1;\ 2\pi)\) выполняется при \(\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \frac{3\pi}{2}\). На отрезке \(\left[\frac{\pi}{2};\ \pi\right]\) косинус убывает, а \(\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}\), поэтому неравенство \(\cos x > -\frac{1}{2}\) выполняется там при \(x < \frac{2\pi}{3}\). На отрезке \(\left[\pi;\ \frac{3\pi}{2}\right]\) косинус возрастает, а \(\cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}\), поэтому неравенство \(\cos x > -\frac{1}{2}\) выполняется там при \(x > \frac{4\pi}{3}\). Значит, вторая система даёт \[\left[\begin{array}{l} \frac{\pi}{2} \leqslant x < \frac{2\pi}{3}, \\ \frac{4\pi}{3} < x \leqslant \frac{3\pi}{2}. \end{array}\right.\]
Ответ: \((0;\ 1) \cup \left[\frac{\pi}{2};\ \frac{2\pi}{3}\right) \cup \left(\frac{4\pi}{3};\ \frac{3\pi}{2}\right]\).
