Страница 65 номер 7.12, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) \(0 = \log_{\frac{1}{3}} 1\), поэтому \(\log_{\frac{1}{3}}(x^{2} - 5x + 7) > \log_{\frac{1}{3}} 1\). Основание \(\frac{1}{3} < 1\), поэтому знак меняется на противоположный: \[\begin{cases} x^{2} - 5x + 7 < 1, \\ x^{2} - 5x + 7 > 0. \end{cases}\]
У трёхчлена \(x^{2} - 5x + 7\) дискриминант \(D = 25 - 28 = -3\) отрицателен, а старший коэффициент положителен, поэтому второе неравенство выполняется при всех значениях переменной и остаётся первое: \(x^{2} - 5x + 6 < 0\); \((x - 2)(x - 3) < 0\), откуда \(2 < x < 3\).
2) \(0{,}5 = \log_{9} 9^{0{,}5} = \log_{9} 3\), поэтому \(\log_{9}(x^{2} - 6x + 8) \leqslant \log_{9} 3\). Основание \(9 > 1\): \[\begin{cases} x^{2} - 6x + 8 \leqslant 3, \\ x^{2} - 6x + 8 > 0. \end{cases}\]
Первое: \(x^{2} - 6x + 5 \leqslant 0\); \((x - 1)(x - 5) \leqslant 0\), откуда \(1 \leqslant x \leqslant 5\). Второе: \((x - 2)(x - 4) > 0\), откуда \(x < 2\) или \(x > 4\). Пересекая промежутки, получаем \(1 \leqslant x < 2\) или \(4 < x \leqslant 5\).
3) \(-2 = \log_{0{,}5}\left(0{,}5\right)^{-2} = \log_{0{,}5} 4\), поэтому \(\log_{0{,}5}(x^{2} + 3x) \geqslant \log_{0{,}5} 4\). Основание \(0{,}5 < 1\), поэтому знак меняется на противоположный: \[\begin{cases} x^{2} + 3x \leqslant 4, \\ x^{2} + 3x > 0. \end{cases}\]
Первое: \(x^{2} + 3x - 4 \leqslant 0\); \((x + 4)(x - 1) \leqslant 0\), откуда \(-4 \leqslant x \leqslant 1\). Второе: \(x(x + 3) > 0\), откуда \(x < -3\) или \(x > 0\). Пересекая промежутки, получаем \(-4 \leqslant x < -3\) или \(0 < x \leqslant 1\).
4) \(0 = \log_{0{,}3} 1\), а \(x^{2} - 2x + 1 = (x - 1)^{2}\), поэтому \(\log_{0{,}3}(x - 1)^{2} \geqslant \log_{0{,}3} 1\). Основание \(0{,}3 < 1\), поэтому знак меняется на противоположный: \[\begin{cases} (x - 1)^{2} \leqslant 1, \\ (x - 1)^{2} > 0. \end{cases}\]
Из первого \(|x - 1| \leqslant 1\), то есть \(0 \leqslant x \leqslant 2\); второе означает, что \(x \ne 1\). Значит, \(0 \leqslant x < 1\) или \(1 < x \leqslant 2\).
5) \(1 = \log_{4} 4\), поэтому \(\log_{4}\frac{3x - 1}{x - 1} \leqslant \log_{4} 4\). Основание \(4 > 1\): \[\begin{cases} \frac{3x - 1}{x - 1} \leqslant 4, \\ \frac{3x - 1}{x - 1} > 0. \end{cases}\]
Первое: \[\frac{3x - 1}{x - 1} - 4 \leqslant 0; \quad \frac{3x - 1 - 4(x - 1)}{x - 1} \leqslant 0; \quad \frac{3 - x}{x - 1} \leqslant 0; \quad \frac{x - 3}{x - 1} \geqslant 0,\]
и методом интервалов получаем \(x < 1\) или \(x \geqslant 3\). Второе равносильно неравенству \((3x - 1)(x - 1) > 0\), откуда \(x < \frac{1}{3}\) или \(x > 1\). Пересекая промежутки, получаем \(x < \frac{1}{3}\) или \(x \geqslant 3\).
6) \(1 = \log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}\), поэтому \(\log_{\frac{1}{2}}\frac{2x - 1}{3x + 1} > \log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}\). Основание \(\frac{1}{2} < 1\), поэтому знак меняется на противоположный: \[\begin{cases} \frac{2x - 1}{3x + 1} < \frac{1}{2}, \\ \frac{2x - 1}{3x + 1} > 0. \end{cases}\]
Первое: \[\frac{2x - 1}{3x + 1} - \frac{1}{2} < 0; \quad \frac{2(2x - 1) - (3x + 1)}{2(3x + 1)} < 0; \quad \frac{x - 3}{2(3x + 1)} < 0.\]
Положительный множитель 2 в знаменателе на знак дроби не влияет, поэтому последнее неравенство равносильно неравенству \(\frac{x - 3}{3x + 1} < 0\), и методом интервалов получаем \(-\frac{1}{3} < x < 3\). Второе равносильно неравенству \((2x - 1)(3x + 1) > 0\), откуда \(x < -\frac{1}{3}\) или \(x > \frac{1}{2}\). Пересекая промежутки, получаем \(\frac{1}{2} < x < 3\).
Ответ: 1) \((2;\ 3)\); 2) \([1;\ 2) \cup (4;\ 5]\); 3) \([-4;\ -3) \cup (0;\ 1]\); 4) \([0;\ 1) \cup (1;\ 2]\); 5) \(\left(-\infty;\ \frac{1}{3}\right) \cup [3;\ +\infty)\); 6) \(\left(\frac{1}{2};\ 3\right)\).
1) Так как \(0 = \log_{\frac{1}{3}} 1\), имеем: \(\log_{\frac{1}{3}}(x^{2} - 5x + 7) > \log_{\frac{1}{3}} 1\). Основание \(\frac{1}{3}\) меньше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} x^{2} - 5x + 7 < 1, \\ x^{2} - 5x + 7 > 0. \end{cases}\]
У трёхчлена \(x^{2} - 5x + 7\) дискриминант \(D = 25 - 28 = -3\) отрицателен, а старший коэффициент положителен, поэтому второе неравенство системы выполняется при всех значениях переменной и остаётся первое: \(x^{2} - 5x + 6 < 0\); \((x - 2)(x - 3) < 0\), откуда \(2 < x < 3\).
2) Так как \(0{,}5 = \log_{9} 9^{0{,}5} = \log_{9} 3\), имеем: \(\log_{9}(x^{2} - 6x + 8) \leqslant \log_{9} 3\). Основание 9 больше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} x^{2} - 6x + 8 \leqslant 3, \\ x^{2} - 6x + 8 > 0. \end{cases}\]
Первое неравенство системы: \(x^{2} - 6x + 5 \leqslant 0\); \((x - 1)(x - 5) \leqslant 0\), откуда \(1 \leqslant x \leqslant 5\). Второе неравенство: \((x - 2)(x - 4) > 0\), откуда \(x < 2\) или \(x > 4\). Пересекая промежутки, получаем \(1 \leqslant x < 2\) или \(4 < x \leqslant 5\).
3) Так как \(-2 = \log_{0{,}5}\left(0{,}5\right)^{-2} = \log_{0{,}5} 4\), имеем: \(\log_{0{,}5}(x^{2} + 3x) \geqslant \log_{0{,}5} 4\). Основание \(0{,}5\) меньше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} x^{2} + 3x \leqslant 4, \\ x^{2} + 3x > 0. \end{cases}\]
Первое неравенство системы: \(x^{2} + 3x - 4 \leqslant 0\); \((x + 4)(x - 1) \leqslant 0\), откуда \(-4 \leqslant x \leqslant 1\). Второе неравенство: \(x(x + 3) > 0\), откуда \(x < -3\) или \(x > 0\). Пересекая промежутки, получаем \(-4 \leqslant x < -3\) или \(0 < x \leqslant 1\).
4) Так как \(0 = \log_{0{,}3} 1\) и \(x^{2} - 2x + 1 = (x - 1)^{2}\), имеем: \(\log_{0{,}3}(x - 1)^{2} \geqslant \log_{0{,}3} 1\). Основание \(0{,}3\) меньше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} (x - 1)^{2} \leqslant 1, \\ (x - 1)^{2} > 0. \end{cases}\]
Из первого неравенства \(|x - 1| \leqslant 1\), то есть \(0 \leqslant x \leqslant 2\). Второе неравенство означает, что \(x \ne 1\). Значит, \(0 \leqslant x < 1\) или \(1 < x \leqslant 2\).
5) Так как \(1 = \log_{4} 4\), имеем: \(\log_{4}\frac{3x - 1}{x - 1} \leqslant \log_{4} 4\). Основание 4 больше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} \frac{3x - 1}{x - 1} \leqslant 4, \\ \frac{3x - 1}{x - 1} > 0. \end{cases}\]
Первое неравенство системы: \[\frac{3x - 1}{x - 1} - 4 \leqslant 0; \quad \frac{3x - 1 - 4(x - 1)}{x - 1} \leqslant 0; \quad \frac{3 - x}{x - 1} \leqslant 0; \quad \frac{x - 3}{x - 1} \geqslant 0.\]
Методом интервалов получаем \(x < 1\) или \(x \geqslant 3\). Второе неравенство системы равносильно неравенству \((3x - 1)(x - 1) > 0\), откуда \(x < \frac{1}{3}\) или \(x > 1\). Пересекая промежутки, получаем \(x < \frac{1}{3}\) или \(x \geqslant 3\).
6) Так как \(1 = \log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}\), имеем: \(\log_{\frac{1}{2}}\frac{2x - 1}{3x + 1} > \log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}\). Основание \(\frac{1}{2}\) меньше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} \frac{2x - 1}{3x + 1} < \frac{1}{2}, \\ \frac{2x - 1}{3x + 1} > 0. \end{cases}\]
Первое неравенство системы: \[\frac{2x - 1}{3x + 1} - \frac{1}{2} < 0; \quad \frac{2(2x - 1) - (3x + 1)}{2(3x + 1)} < 0; \quad \frac{x - 3}{2(3x + 1)} < 0.\]
Положительный множитель 2 в знаменателе на знак дроби не влияет, поэтому последнее неравенство равносильно неравенству \(\frac{x - 3}{3x + 1} < 0\), и методом интервалов получаем \(-\frac{1}{3} < x < 3\). Второе неравенство системы равносильно неравенству \((2x - 1)(3x + 1) > 0\), откуда \(x < -\frac{1}{3}\) или \(x > \frac{1}{2}\). Пересекая промежутки, получаем \(\frac{1}{2} < x < 3\).
Ответ: 1) \((2;\ 3)\); 2) \([1;\ 2) \cup (4;\ 5]\); 3) \([-4;\ -3) \cup (0;\ 1]\); 4) \([0;\ 1) \cup (1;\ 2]\); 5) \(\left(-\infty;\ \frac{1}{3}\right) \cup [3;\ +\infty)\); 6) \(\left(\frac{1}{2};\ 3\right)\).
