Страницы 65-66 номер 7.15, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

В каждом пункте сумму логарифмов сворачиваем в логарифм произведения, а число в правой части записываем логарифмом по тому же основанию. Свёртка расширяет область определения, поэтому в систему обязательно входит положительность каждого выражения, стоявшего под знаком логарифма в условии.

1) Так как \(\lg x + \lg(x - 3) = \lg\left(x(x - 3)\right)\) и \(1 = \lg 10\), неравенство принимает вид \(\lg\left(x(x - 3)\right) > \lg 10\). Основание 10 больше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} x(x - 3) > 10, \\ x > 0, \\ x - 3 > 0. \end{cases}\] Отсюда \[\begin{cases} (x - 5)(x + 2) > 0, \\ x > 3; \end{cases} \quad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x < -2, \\ x > 5; \end{array}\right. \\ x > 3; \end{cases} \quad x > 5.\]

2) Так как \(\log_{\frac{1}{3}}(x + 2) + \log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}}\left(x(x + 2)\right)\) и \(-1 = \log_{\frac{1}{3}} 3\), неравенство принимает вид \(\log_{\frac{1}{3}}\left(x(x + 2)\right) < \log_{\frac{1}{3}} 3\). Основание \(\frac{1}{3}\) меньше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} x(x + 2) > 3, \\ x + 2 > 0, \\ x > 0. \end{cases}\] Отсюда \[\begin{cases} (x + 3)(x - 1) > 0, \\ x > 0; \end{cases} \quad x > 1.\]

3) Так как \(\log_{2} x + \log_{2}(x + 4) = \log_{2}\left(x(x + 4)\right)\) и \(5 = \log_{2} 32\), неравенство принимает вид \(\log_{2}\left(x(x + 4)\right) < \log_{2} 32\). Основание 2 больше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} x(x + 4) < 32, \\ x > 0, \\ x + 4 > 0. \end{cases}\] Отсюда \[\begin{cases} (x + 8)(x - 4) < 0, \\ x > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} -8 < x < 4, \\ x > 0; \end{cases} \quad 0 < x < 4.\]

4) Так как \(\log_{0{,}1}(x - 5) + \log_{0{,}1}(x - 2) = \log_{0{,}1}\left((x - 5)(x - 2)\right)\) и \(-1 = \log_{0{,}1} 10\), неравенство принимает вид \(\log_{0{,}1}\left((x - 5)(x - 2)\right) \geqslant \log_{0{,}1} 10\). Основание \(0{,}1\) меньше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} (x - 5)(x - 2) \leqslant 10, \\ x - 5 > 0, \\ x - 2 > 0. \end{cases}\] Отсюда \[\begin{cases} x^2 - 7x \leqslant 0, \\ x > 5; \end{cases} \quad \begin{cases} 0 \leqslant x \leqslant 7, \\ x > 5; \end{cases} \quad 5 < x \leqslant 7.\]

5) Правую часть приведём к одному логарифму: \(1 - \log_{6} 3 = \log_{6} 6 - \log_{6} 3 = \log_{6} 2\). Слева \(\log_{6}(5x + 8) + \log_{6}(x + 1) = \log_{6}\left((5x + 8)(x + 1)\right)\). Основание 6 больше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} (5x + 8)(x + 1) \leqslant 2, \\ 5x + 8 > 0, \\ x + 1 > 0. \end{cases}\] Отсюда \[\begin{cases} 5x^2 + 13x + 6 \leqslant 0, \\ x > -1; \end{cases} \quad \begin{cases} (5x + 3)(x + 2) \leqslant 0, \\ x > -1; \end{cases} \quad \begin{cases} -2 \leqslant x \leqslant -\frac{3}{5}, \\ x > -1; \end{cases} \quad -1 < x \leqslant -\frac{3}{5}.\]

6) Правую часть приведём к одному логарифму: \(2\log_{3} 2 + 1 = \log_{3} 4 + \log_{3} 3 = \log_{3} 12\). Слева \(\log_{3}(1 - x) + \log_{3}(-5x - 2) = \log_{3}\left((1 - x)(-5x - 2)\right)\). Основание 3 больше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} (1 - x)(-5x - 2) \geqslant 12, \\ 1 - x > 0, \\ -5x - 2 > 0. \end{cases}\] Так как \((1 - x)(-5x - 2) = 5x^2 - 3x - 2\), получаем \[\begin{cases} 5x^2 - 3x - 14 \geqslant 0, \\ x < 1, \\ x < -\frac{2}{5}; \end{cases} \quad \begin{cases} (x - 2)(5x + 7) \geqslant 0, \\ x < -\frac{2}{5}; \end{cases} \quad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x \leqslant -\frac{7}{5}, \\ x \geqslant 2; \end{array}\right. \\ x < -\frac{2}{5}; \end{cases} \quad x \leqslant -\frac{7}{5}.\]

Ответ: 1) \((5;\ +\infty)\); 2) \((1;\ +\infty)\); 3) \((0;\ 4)\); 4) \((5;\ 7]\); 5) \(\left(-1;\ -\frac{3}{5}\right]\); 6) \(\left(-\infty;\ -\frac{7}{5}\right]\).