Страница 67 номер 7.30, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Для каждого значения параметра \(a\) решите неравенство \((3^{x} - a)\sqrt{x - 2} \le 0\).
ОДЗ: \(x - 2 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant 2\).
При \(x = 2\) множитель \(\sqrt{x - 2}\) равен нулю, произведение равно нулю, и неравенство выполняется при любом значении параметра: число 2 — решение при всех значениях параметра.
При \(x > 2\) имеем \(\sqrt{x - 2} > 0\), поэтому неравенство равносильно такому: \(3^{x} - a \leqslant 0\), то есть \(3^{x} \leqslant a\).
Если \(a \leqslant 0\), то неравенство \(3^{x} \leqslant a\) не выполняется ни при каком значении \(x\), так как \(3^{x} > 0\); решений, больших двух, нет.
Если \(a > 0\), то \(a = 3^{\log_{3} a}\) и неравенство принимает вид \(3^{x} \leqslant 3^{\log_{3} a}\). Основание 3 больше единицы, поэтому \(x \leqslant \log_{3} a\).
Сравним число \(\log_{3} a\) с числом 2. При \(0 < a \leqslant 9\) имеем \(\log_{3} a \leqslant \log_{3} 9\), то есть \(\log_{3} a \leqslant 2\), и ни одно значение \(x > 2\) условию \(x \leqslant \log_{3} a\) не удовлетворяет. При \(a > 9\) имеем \(\log_{3} a > 2\), и подходят все значения \(x\) из промежутка \(2 < x \leqslant \log_{3} a\).
Значит, при \(a \leqslant 9\) решение единственно — это число 2; при \(a > 9\) решениями служат число 2 и все \(x\) из промежутка \(\left(2;\ \log_{3} a\right]\), что вместе даёт отрезок \(\left[2;\ \log_{3} a\right]\).
Ответ: при \(a \leqslant 9\) решение \(x = 2\); при \(a > 9\) множество решений — отрезок \(\left[2;\ \log_{3} a\right]\).
Для каждого значения параметра \(a\) решите неравенство \((3^{x} - a)\sqrt{x - 2} \le 0\).
Область определения неравенства задаётся условием \(x - 2 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant 2\).
При \(x = 2\) множитель \(\sqrt{x - 2}\) равен нулю, поэтому произведение равно нулю и неравенство выполняется при любом значении параметра. Значит, число 2 — решение неравенства при всех значениях параметра.
При \(x > 2\) имеем \(\sqrt{x - 2} > 0\), поэтому неравенство равносильно такому: \(3^{x} - a \leqslant 0\), то есть \(3^{x} \leqslant a\).
Если \(a \leqslant 0\), то неравенство \(3^{x} \leqslant a\) не выполняется ни при каком значении \(x\), так как \(3^{x} > 0\). Значит, решений, больших двух, нет.
Если \(a > 0\), то \(a = 3^{\log_{3} a}\) и неравенство принимает вид \(3^{x} \leqslant 3^{\log_{3} a}\). Основание 3 больше единицы, поэтому это неравенство равносильно такому: \(x \leqslant \log_{3} a\).
Осталось сравнить число \(\log_{3} a\) с числом 2. Если \(0 < a \leqslant 9\), то \(\log_{3} a \leqslant \log_{3} 9\), то есть \(\log_{3} a \leqslant 2\), и ни одно значение \(x > 2\) условию \(x \leqslant \log_{3} a\) не удовлетворяет. Если же \(a > 9\), то \(\log_{3} a > 2\), и подходят все значения \(x\) из промежутка \(2 < x \leqslant \log_{3} a\).
Значит, при \(a \leqslant 9\) решение единственно — это число 2; при \(a > 9\) решениями служат число 2 и все \(x\) из промежутка \(\left(2;\ \log_{3} a\right]\), что вместе даёт отрезок \(\left[2;\ \log_{3} a\right]\).
Ответ: при \(a \leqslant 9\) решение \(x = 2\); при \(a > 9\) множество решений — отрезок \(\left[2;\ \log_{3} a\right]\).
