Страница 73 номер 8.9, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции \(f\) в точке с абсциссой \(x_0\): 1) \(f(x) = e^{2x + 1}\), \(x_0 = -1\); 2) \(f(x) = x - \ln x\), \(x_0 = 3\).
Угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой \(x_{0}\) равен \(f'(x_{0})\).
1) \(f'(x) = e^{2x + 1} \cdot (2x + 1)' = 2e^{2x + 1}\).
Тогда \(k = f'(-1) = 2e^{-2 + 1} = 2e^{-1} = \frac{2}{e}\).
2) Область определения функции — промежуток \((0;\ +\infty)\), и точка \(x_{0} = 3\) ему принадлежит: \(f'(x) = (x)' - (\ln x)' = 1 - \frac{1}{x}\).
Тогда \(k = f'(3) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\).
Ответ: 1) \(\frac{2}{e}\); 2) \(\frac{2}{3}\).
Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции \(f\) в точке с абсциссой \(x_0\): 1) \(f(x) = e^{2x + 1}\), \(x_0 = -1\); 2) \(f(x) = x - \ln x\), \(x_0 = 3\).
Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой \(x_{0}\) равен значению производной этой функции в точке \(x_{0}\), то есть \(k = f'(x_{0})\).
1) Используя теорему о производной сложной функции, запишем: \(f'(x) = e^{2x + 1} \cdot (2x + 1)' = 2e^{2x + 1}\).
Тогда \(k = f'(-1) = 2e^{-2 + 1} = 2e^{-1} = \frac{2}{e}\).
2) Область определения функции — промежуток \((0;\ +\infty)\), и точка \(x_{0} = 3\) ему принадлежит. Имеем: \(f'(x) = (x)' - (\ln x)' = 1 - \frac{1}{x}\).
Тогда \(k = f'(3) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\).
Ответ: 1) \(\frac{2}{e}\); 2) \(\frac{2}{3}\).
