Страница 72 номер 8.4, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите производную функции: 1) \(y = \lg x\); 2) \(y = \ln(5x - 4)\); 3) \(y = \ln^{3} x\); 4) \(y = \lg \cos x\); 5) \(y = \frac{x^{5}}{\ln x}\); 6) \(y = \log_{2}(x^2 + 6)\).
1) Запись \(\lg x\) означает \(\log_{10} x\), поэтому \(y' = (\lg x)' = \frac{1}{x\ln 10}\).
2) \[y' = \left(\ln(5x - 4)\right)' = \frac{1}{5x - 4} \cdot (5x - 4)' = \frac{5}{5x - 4}.\]
3) Запись \(\ln^{3} x\) означает \((\ln x)^{3}\), поэтому \[y' = (\ln^{3} x)' = 3\ln^{2} x \cdot (\ln x)' = \frac{3\ln^{2} x}{x}.\]
4) \[y' = (\lg \cos x)' = \frac{1}{\cos x \ln 10} \cdot (\cos x)' = -\frac{\sin x}{\cos x \ln 10}.\]
5) \[\begin{aligned} &y' = \frac{(x^{5})' \cdot \ln x - (\ln x)' \cdot x^{5}}{\ln^{2} x} = {} \\ &= \frac{5x^{4}\ln x - \frac{1}{x} \cdot x^{5}}{\ln^{2} x} = \frac{x^{4}(5\ln x - 1)}{\ln^{2} x}. \end{aligned}\]
6) \[y' = \left(\log_{2}(x^{2} + 6)\right)' = \frac{1}{(x^{2} + 6)\ln 2} \cdot (x^{2} + 6)' = \frac{2x}{(x^{2} + 6)\ln 2}.\]
Ответ: 1) \(\frac{1}{x\ln 10}\); 2) \(\frac{5}{5x - 4}\); 3) \(\frac{3\ln^{2} x}{x}\); 4) \(-\frac{\sin x}{\cos x \ln 10}\); 5) \(\frac{x^{4}(5\ln x - 1)}{\ln^{2} x}\); 6) \(\frac{2x}{(x^{2} + 6)\ln 2}\).
Найдите производную функции: 1) \(y = \lg x\); 2) \(y = \ln(5x - 4)\); 3) \(y = \ln^{3} x\); 4) \(y = \lg \cos x\); 5) \(y = \frac{x^{5}}{\ln x}\); 6) \(y = \log_{2}(x^2 + 6)\).
1) Запись \(\lg x\) означает \(\log_{10} x\), поэтому по формуле производной логарифмической функции \(y' = (\lg x)' = \frac{1}{x\ln 10}\).
2) Используя теорему о производной сложной функции, запишем: \[y' = \left(\ln(5x - 4)\right)' = \frac{1}{5x - 4} \cdot (5x - 4)' = \frac{5}{5x - 4}.\]
3) Запись \(\ln^{3} x\) означает \((\ln x)^{3}\), поэтому, применяя теорему о производной сложной функции, получаем: \[y' = (\ln^{3} x)' = 3\ln^{2} x \cdot (\ln x)' = \frac{3\ln^{2} x}{x}.\]
4) Применяя теорему о производной сложной функции, получаем: \[y' = (\lg \cos x)' = \frac{1}{\cos x \ln 10} \cdot (\cos x)' = -\frac{\sin x}{\cos x \ln 10}.\]
5) Применяя теорему о производной частного, получаем: \[\begin{aligned} &y' = \frac{(x^{5})' \cdot \ln x - (\ln x)' \cdot x^{5}}{\ln^{2} x} = {} \\ &= \frac{5x^{4}\ln x - \frac{1}{x} \cdot x^{5}}{\ln^{2} x} = \frac{x^{4}(5\ln x - 1)}{\ln^{2} x}. \end{aligned}\]
6) Применяя теорему о производной сложной функции, получаем: \[y' = \left(\log_{2}(x^{2} + 6)\right)' = \frac{1}{(x^{2} + 6)\ln 2} \cdot (x^{2} + 6)' = \frac{2x}{(x^{2} + 6)\ln 2}.\]
Ответ: 1) \(\frac{1}{x\ln 10}\); 2) \(\frac{5}{5x - 4}\); 3) \(\frac{3\ln^{2} x}{x}\); 4) \(-\frac{\sin x}{\cos x \ln 10}\); 5) \(\frac{x^{4}(5\ln x - 1)}{\ln^{2} x}\); 6) \(\frac{2x}{(x^{2} + 6)\ln 2}\).
