Страница 73 номер 8.16, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
У параллельных прямых угловые коэффициенты равны, поэтому \(k\) касательной равен угловому коэффициенту данной прямой.
1) \(k = -7\) — угловой коэффициент прямой \(y = 5 - 7x\).
\(f'(x) = e^{6 - 7x} \cdot (6 - 7x)' = -7e^{6 - 7x}\); из \(f'(x_0) = -7\): \(-7e^{6 - 7x_0} = -7\); \(e^{6 - 7x_0} = 1\); \(6 - 7x_0 = 0\); \(x_0 = \frac{6}{7}\); \(f(x_0) = e^{0} = 1\). Тогда \(y = 1 - 7\left(x - \frac{6}{7}\right)\), то есть \(y = -7x + 7\).
2) \(k = 2\) — угловой коэффициент прямой \(y = 2x - 3\).
\(f'(x) = e^{x} - e^{-x} \cdot (-x)' = e^{x} + e^{-x}\); из \(f'(x_0) = 2\): \(e^{x_0} + e^{-x_0} = 2\).
Обозначим \(t = e^{x_0}\), причём \(t > 0\): \(t + \frac{1}{t} = 2\); \(t^{2} - 2t + 1 = 0\); \((t - 1)^{2} = 0\); \(t = 1\). Значит, \(e^{x_0} = 1\) и \(x_0 = 0\); \(f(x_0) = e^{0} - e^{0} = 0\). Тогда \(y = 0 + 2(x - 0)\), то есть \(y = 2x\).
3) \(k = 1\) — угловой коэффициент прямой \(y = x\).
Область определения — промежуток \((0;\ +\infty)\).
\(f'(x) = 6 - \frac{1}{x}\); из \(f'(x_0) = 1\): \(6 - \frac{1}{x_0} = 1\); \(\frac{1}{x_0} = 5\); \(x_0 = \frac{1}{5}\); \(f(x_0) = \frac{6}{5} - \ln \frac{1}{5} = \frac{6}{5} + \ln 5\). Тогда \(y = \frac{6}{5} + \ln 5 + \left(x - \frac{1}{5}\right)\), то есть \(y = x + 1 + \ln 5\).
4) \(k = -1\) — угловой коэффициент прямой \(y = 1 - x\).
Область определения: \(1 - x > 0\), то есть \(x < 1\).
\(f'(x) = \frac{1}{1 - x} \cdot (1 - x)' = -\frac{1}{1 - x}\); из \(f'(x_0) = -1\): \(-\frac{1}{1 - x_0} = -1\); \(1 - x_0 = 1\); \(x_0 = 0\), и эта абсцисса принадлежит области определения; \(f(x_0) = \ln 1 = 0\). Тогда \(y = 0 - (x - 0)\), то есть \(y = -x\).
Ответ: 1) \(y = -7x + 7\); 2) \(y = 2x\); 3) \(y = x + 1 + \ln 5\); 4) \(y = -x\).
Параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты, поэтому угловой коэффициент искомой касательной равен угловому коэффициенту данной прямой.
1) Угловой коэффициент прямой \(y = 5 - 7x\) равен \(-7\), поэтому \(k = -7\).
Найдём абсциссу \(x_0\) точки касания. Имеем: \(f'(x) = e^{6 - 7x} \cdot (6 - 7x)' = -7e^{6 - 7x}\). Поскольку \(f'(x_0) = -7\), то \(-7e^{6 - 7x_0} = -7\); \(e^{6 - 7x_0} = 1\); \(6 - 7x_0 = 0\); \(x_0 = \frac{6}{7}\). Отсюда \(f(x_0) = e^{0} = 1\).
Тогда искомое уравнение имеет вид \(y = 1 - 7\left(x - \frac{6}{7}\right)\), то есть \(y = -7x + 7\).
2) Угловой коэффициент прямой \(y = 2x - 3\) равен 2, поэтому \(k = 2\).
Имеем: \(f'(x) = e^{x} - e^{-x} \cdot (-x)' = e^{x} + e^{-x}\). Поскольку \(f'(x_0) = 2\), то \(e^{x_0} + e^{-x_0} = 2\).
Обозначим \(t = e^{x_0}\), причём \(t > 0\). Получаем: \(t + \frac{1}{t} = 2\); \(t^{2} - 2t + 1 = 0\); \((t - 1)^{2} = 0\); \(t = 1\). Значит, \(e^{x_0} = 1\) и \(x_0 = 0\). Отсюда \(f(x_0) = e^{0} - e^{0} = 0\).
Тогда искомое уравнение имеет вид \(y = 0 + 2(x - 0)\), то есть \(y = 2x\).
3) Угловой коэффициент прямой \(y = x\) равен 1, поэтому \(k = 1\).
Область определения функции — промежуток \((0;\ +\infty)\).
Имеем: \(f'(x) = 6 - \frac{1}{x}\). Поскольку \(f'(x_0) = 1\), то \(6 - \frac{1}{x_0} = 1\); \(\frac{1}{x_0} = 5\); \(x_0 = \frac{1}{5}\). Отсюда по свойству логарифма частного \(f(x_0) = \frac{6}{5} - \ln \frac{1}{5} = \frac{6}{5} + \ln 5\).
Тогда искомое уравнение имеет вид \(y = \frac{6}{5} + \ln 5 + \left(x - \frac{1}{5}\right)\), то есть \(y = x + 1 + \ln 5\).
4) Угловой коэффициент прямой \(y = 1 - x\) равен \(-1\), поэтому \(k = -1\).
Область определения функции задаётся условием \(1 - x > 0\), откуда \(x < 1\).
Имеем: \(f'(x) = \frac{1}{1 - x} \cdot (1 - x)' = -\frac{1}{1 - x}\). Поскольку \(f'(x_0) = -1\), то \(-\frac{1}{1 - x_0} = -1\); \(1 - x_0 = 1\); \(x_0 = 0\), и эта абсцисса принадлежит области определения. Отсюда \(f(x_0) = \ln 1 = 0\).
Тогда искомое уравнение имеет вид \(y = 0 - (x - 0)\), то есть \(y = -x\).
Ответ: 1) \(y = -7x + 7\); 2) \(y = 2x\); 3) \(y = x + 1 + \ln 5\); 4) \(y = -x\).
