Страница 66 номер 7.20, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите неравенство: 1) \(\log_{7}^{2}(7x) - \log_{7} x \ge 3\); 2) \(\log_{6}^{2} \frac{x}{216} + 8\log_{6} x - 12 \le 0\); 3) \(\frac{\log_{3}^{2} x - 6\log_{3} x + 8}{\log_{3} x - 1} \ge 0\); 4) \(\log_{0{,}5} x - 2\log_{x} 0{,}5 \le 1\).
1) ОДЗ — промежуток \((0;\ +\infty)\). На нём \(\log_{7}(7x) = \log_{7} 7 + \log_{7} x = 1 + \log_{7} x\).
Пусть \(\log_{7} x = t\). Получаем: \((1 + t)^2 - t \geqslant 3\); \(t^2 + t - 2 \geqslant 0\); \((t + 2)(t - 1) \geqslant 0\); \[\left[\begin{array}{l} t \leqslant -2, \\ t \geqslant 1. \end{array}\right.\]
Так как \(-2 = \log_{7} \frac{1}{49}\), то \[\left[\begin{array}{l} \log_{7} x \leqslant \log_{7} \frac{1}{49}, \\ \log_{7} x \geqslant \log_{7} 7; \end{array}\right. \quad \left[\begin{array}{l} 0 < x \leqslant \frac{1}{49}, \\ x \geqslant 7. \end{array}\right.\]
2) ОДЗ — промежуток \((0;\ +\infty)\). На нём \(\log_{6} \frac{x}{216} = \log_{6} x - \log_{6} 216 = \log_{6} x - 3\).
Пусть \(\log_{6} x = t\). Получаем: \((t - 3)^2 + 8t - 12 \leqslant 0\); \(t^2 + 2t - 3 \leqslant 0\); \((t + 3)(t - 1) \leqslant 0\); \(-3 \leqslant t \leqslant 1\).
Так как \(-3 = \log_{6} \frac{1}{216}\), а \(1 = \log_{6} 6\), то \(\log_{6} \frac{1}{216} \leqslant \log_{6} x \leqslant \log_{6} 6\). Основание 6 больше единицы, поэтому \(\frac{1}{216} \leqslant x \leqslant 6\).
3) ОДЗ: \(x > 0\) и \(\log_{3} x \ne 1\), то есть \(x \ne 3\).
Пусть \(\log_{3} x = t\), причём \(t \ne 1\). Получаем: \(\frac{t^2 - 6t + 8}{t - 1} \geqslant 0\); \(\frac{(t - 2)(t - 4)}{t - 1} \geqslant 0\). Нули числителя — числа 2 и 4, нуль знаменателя — число 1, и методом интервалов получаем: \[\left[\begin{array}{l} 1 < t \leqslant 2, \\ t \geqslant 4. \end{array}\right.\]
Тогда \[\left[\begin{array}{l} \log_{3} 3 < \log_{3} x \leqslant \log_{3} 9, \\ \log_{3} x \geqslant \log_{3} 81; \end{array}\right. \quad \left[\begin{array}{l} 3 < x \leqslant 9, \\ x \geqslant 81. \end{array}\right.\]
4) ОДЗ: \(x > 0\) и \(x \ne 1\) — иначе логарифм с основанием \(x\) не определён. Так как \(\log_{x} 0{,}5 = \frac{1}{\log_{0{,}5} x}\), неравенство принимает вид \(\log_{0{,}5} x - \frac{2}{\log_{0{,}5} x} \leqslant 1\).
Пусть \(\log_{0{,}5} x = t\), причём \(t \ne 0\). Получаем: \(t - \frac{2}{t} - 1 \leqslant 0\); \(\frac{t^2 - t - 2}{t} \leqslant 0\); \(\frac{(t - 2)(t + 1)}{t} \leqslant 0\). Нули числителя — числа \(-1\) и 2, нуль знаменателя — число 0, и методом интервалов получаем: \[\left[\begin{array}{l} t \leqslant -1, \\ 0 < t \leqslant 2. \end{array}\right.\]
Так как \(-1 = \log_{0{,}5} 2\), а \(2 = \log_{0{,}5} \frac{1}{4}\), имеем \[\left[\begin{array}{l} \log_{0{,}5} x \leqslant \log_{0{,}5} 2, \\ \log_{0{,}5} 1 < \log_{0{,}5} x \leqslant \log_{0{,}5} \frac{1}{4}. \end{array}\right.\]
Основание \(0{,}5\) меньше единицы, поэтому знаки неравенств при переходе к \(x\) меняются на противоположные: \[\left[\begin{array}{l} x \geqslant 2, \\ \frac{1}{4} \leqslant x < 1. \end{array}\right.\]
Ответ: 1) \(\left(0;\ \frac{1}{49}\right] \cup [7;\ +\infty)\); 2) \(\left[\frac{1}{216};\ 6\right]\); 3) \((3;\ 9] \cup [81;\ +\infty)\); 4) \(\left[\frac{1}{4};\ 1\right) \cup [2;\ +\infty)\).
Решите неравенство: 1) \(\log_{7}^{2}(7x) - \log_{7} x \ge 3\); 2) \(\log_{6}^{2} \frac{x}{216} + 8\log_{6} x - 12 \le 0\); 3) \(\frac{\log_{3}^{2} x - 6\log_{3} x + 8}{\log_{3} x - 1} \ge 0\); 4) \(\log_{0{,}5} x - 2\log_{x} 0{,}5 \le 1\).
1) Областью определения неравенства является промежуток \((0;\ +\infty)\). На нём \(\log_{7}(7x) = \log_{7} 7 + \log_{7} x = 1 + \log_{7} x\).
Пусть \(\log_{7} x = t\). Получаем: \((1 + t)^2 - t \geqslant 3\); \(t^2 + t - 2 \geqslant 0\); \((t + 2)(t - 1) \geqslant 0\); \[\left[\begin{array}{l} t \leqslant -2, \\ t \geqslant 1. \end{array}\right.\] Так как \(-2 = \log_{7} \frac{1}{49}\), возвращаемся к переменной \(x\): \[\left[\begin{array}{l} \log_{7} x \leqslant \log_{7} \frac{1}{49}, \\ \log_{7} x \geqslant \log_{7} 7; \end{array}\right. \quad \left[\begin{array}{l} 0 < x \leqslant \frac{1}{49}, \\ x \geqslant 7. \end{array}\right.\]
2) Областью определения является промежуток \((0;\ +\infty)\). На нём \(\log_{6} \frac{x}{216} = \log_{6} x - \log_{6} 216 = \log_{6} x - 3\).
Пусть \(\log_{6} x = t\). Получаем: \((t - 3)^2 + 8t - 12 \leqslant 0\); \(t^2 + 2t - 3 \leqslant 0\); \((t + 3)(t - 1) \leqslant 0\); \(-3 \leqslant t \leqslant 1\).
Так как \(-3 = \log_{6} \frac{1}{216}\), а \(1 = \log_{6} 6\), получаем двойное неравенство \(\log_{6} \frac{1}{216} \leqslant \log_{6} x \leqslant \log_{6} 6\). Основание 6 больше единицы, поэтому \(\frac{1}{216} \leqslant x \leqslant 6\).
3) Областью определения являются все \(x > 0\), при которых знаменатель отличен от нуля: \(\log_{3} x \ne 1\), то есть \(x \ne 3\).
Пусть \(\log_{3} x = t\), причём \(t \ne 1\). Получаем: \(\frac{t^2 - 6t + 8}{t - 1} \geqslant 0\); \(\frac{(t - 2)(t - 4)}{t - 1} \geqslant 0\). Нули числителя — числа 2 и 4, нуль знаменателя — число 1. Методом интервалов получаем: \[\left[\begin{array}{l} 1 < t \leqslant 2, \\ t \geqslant 4. \end{array}\right.\] Возвращаемся к переменной \(x\): \[\left[\begin{array}{l} \log_{3} 3 < \log_{3} x \leqslant \log_{3} 9, \\ \log_{3} x \geqslant \log_{3} 81; \end{array}\right. \quad \left[\begin{array}{l} 3 < x \leqslant 9, \\ x \geqslant 81. \end{array}\right.\]
4) Областью определения являются все \(x > 0\), при которых определён логарифм с основанием \(x\), то есть \(x \ne 1\). По свойству логарифма \(\log_{x} 0{,}5 = \frac{1}{\log_{0{,}5} x}\), поэтому неравенство принимает вид \(\log_{0{,}5} x - \frac{2}{\log_{0{,}5} x} \leqslant 1\).
Пусть \(\log_{0{,}5} x = t\), причём \(t \ne 0\). Получаем: \(t - \frac{2}{t} - 1 \leqslant 0\); \(\frac{t^2 - t - 2}{t} \leqslant 0\); \(\frac{(t - 2)(t + 1)}{t} \leqslant 0\). Нули числителя — числа \(-1\) и 2, нуль знаменателя — число 0. Методом интервалов получаем: \[\left[\begin{array}{l} t \leqslant -1, \\ 0 < t \leqslant 2. \end{array}\right.\] Так как \(-1 = \log_{0{,}5} 2\), а \(2 = \log_{0{,}5} \frac{1}{4}\), имеем \[\left[\begin{array}{l} \log_{0{,}5} x \leqslant \log_{0{,}5} 2, \\ \log_{0{,}5} 1 < \log_{0{,}5} x \leqslant \log_{0{,}5} \frac{1}{4}. \end{array}\right.\] Основание \(0{,}5\) меньше единицы, поэтому знаки неравенств при переходе к \(x\) меняются на противоположные: \[\left[\begin{array}{l} x \geqslant 2, \\ \frac{1}{4} \leqslant x < 1. \end{array}\right.\]
Ответ: 1) \(\left(0;\ \frac{1}{49}\right] \cup [7;\ +\infty)\); 2) \(\left[\frac{1}{216};\ 6\right]\); 3) \((3;\ 9] \cup [81;\ +\infty)\); 4) \(\left[\frac{1}{4};\ 1\right) \cup [2;\ +\infty)\).
