Страница 67 номер 7.27, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите неравенство: 1) \(\sqrt{-x^2 + 7x - 10}\, \log_{2}(x - 3) \le 0\); 2) \(\sqrt{4 - x^2}\left(\log_{3} \frac{x + 1}{x} + 2\right) \le 0\); 3) \((x^2 - 2{,}8x + 1{,}8)\sqrt{\log_{\frac{1}{5}} |x - 2|} \ge 0\).
1) ОДЗ: \[\begin{cases} -x^2 + 7x - 10 \geqslant 0, \\ x - 3 > 0. \end{cases}\]
Первое неравенство равносильно такому: \((x - 2)(x - 5) \leqslant 0\), откуда \(2 \leqslant x \leqslant 5\); второе даёт \(x > 3\). ОДЗ — промежуток \((3;\ 5]\).
Множитель \(\sqrt{-x^2 + 7x - 10}\) неотрицателен, поэтому произведение не больше нуля ровно в двух случаях: когда этот множитель равен нулю и когда второй множитель не больше нуля.
Первый множитель равен нулю при \(x = 2\) и при \(x = 5\); ОДЗ принадлежит только значение \(x = 5\).
Неравенство \(\log_{2}(x - 3) \leqslant \log_{2} 1\): основание 2 больше единицы, поэтому \(0 < x - 3 \leqslant 1\), откуда \(3 < x \leqslant 4\).
2) ОДЗ: \[\begin{cases} 4 - x^2 \geqslant 0, \\ \frac{x + 1}{x} > 0. \end{cases}\]
Первое неравенство даёт \(-2 \leqslant x \leqslant 2\), второе — значения \(x < -1\) или \(x > 0\). ОДЗ — множество \([-2;\ -1) \cup (0;\ 2]\).
Множитель \(\sqrt{4 - x^2}\) неотрицателен, поэтому произведение не больше нуля ровно в двух случаях: когда этот множитель равен нулю и когда второй множитель не больше нуля.
Первый множитель равен нулю при \(x = -2\) и при \(x = 2\); оба значения принадлежат ОДЗ.
Неравенство \(\log_{3} \frac{x + 1}{x} \leqslant \log_{3} \frac{1}{9}\): основание 3 больше единицы, поэтому это неравенство равносильно системе \[\begin{cases} \frac{x + 1}{x} \leqslant \frac{1}{9}, \\ \frac{x + 1}{x} > 0. \end{cases}\]
Первое неравенство: \(\frac{x + 1}{x} - \frac{1}{9} \leqslant 0\); \(\frac{8x + 9}{9x} \leqslant 0\). Нуль числителя — число \(-\frac{9}{8}\), нуль знаменателя — число 0, и методом интервалов получаем \(-\frac{9}{8} \leqslant x < 0\). Вместе со вторым условием остаётся \(-\frac{9}{8} \leqslant x < -1\); эти значения принадлежат ОДЗ.
3) ОДЗ: \[\begin{cases} \log_{\frac{1}{5}} |x - 2| \geqslant 0, \\ |x - 2| > 0. \end{cases}\]
Первое неравенство запишем так: \(\log_{\frac{1}{5}} |x - 2| \geqslant \log_{\frac{1}{5}} 1\). Основание \(\frac{1}{5}\) меньше единицы, поэтому \(0 < |x - 2| \leqslant 1\), откуда \(1 \leqslant x \leqslant 3\) и \(x \ne 2\). ОДЗ — множество \([1;\ 2) \cup (2;\ 3]\).
Множитель \(\sqrt{\log_{\frac{1}{5}} |x - 2|}\) неотрицателен, поэтому произведение неотрицательно ровно в двух случаях: когда этот множитель равен нулю и когда первый множитель неотрицателен.
Корень равен нулю при \(|x - 2| = 1\), то есть при \(x = 1\) и при \(x = 3\); оба значения принадлежат ОДЗ.
Дискриминант трёхчлена \(x^2 - 2{,}8x + 1{,}8\) равен \(7{,}84 - 7{,}2 = 0{,}64\), его корни — числа 1 и \(1{,}8\), поэтому неравенство \(x^2 - 2{,}8x + 1{,}8 \geqslant 0\) выполняется при \(x \leqslant 1\) и при \(x \geqslant 1{,}8\). ОДЗ из них принадлежат значение \(x = 1\) и значения из множества \(\left[\frac{9}{5};\ 2\right) \cup (2;\ 3]\).
Ответ: 1) \((3;\ 4] \cup \{5\}\); 2) \(\left[-\frac{9}{8};\ -1\right) \cup \{-2,\ 2\}\); 3) \(\{1\} \cup \left[\frac{9}{5};\ 2\right) \cup (2;\ 3]\).
Решите неравенство: 1) \(\sqrt{-x^2 + 7x - 10}\, \log_{2}(x - 3) \le 0\); 2) \(\sqrt{4 - x^2}\left(\log_{3} \frac{x + 1}{x} + 2\right) \le 0\); 3) \((x^2 - 2{,}8x + 1{,}8)\sqrt{\log_{\frac{1}{5}} |x - 2|} \ge 0\).
1) Область определения неравенства задаётся системой \[\begin{cases} -x^2 + 7x - 10 \geqslant 0, \\ x - 3 > 0. \end{cases}\] Первое неравенство равносильно такому: \((x - 2)(x - 5) \leqslant 0\), откуда \(2 \leqslant x \leqslant 5\); второе даёт \(x > 3\). Значит, область определения — промежуток \((3;\ 5]\).
Множитель \(\sqrt{-x^2 + 7x - 10}\) неотрицателен, поэтому произведение не больше нуля ровно в двух случаях: когда этот множитель равен нулю и когда второй множитель не больше нуля.
Первый множитель равен нулю при \(-x^2 + 7x - 10 = 0\), то есть при \(x = 2\) и при \(x = 5\). Области определения принадлежит только значение \(x = 5\).
Неравенство \(\log_{2}(x - 3) \leqslant 0\) запишем так: \(\log_{2}(x - 3) \leqslant \log_{2} 1\). Основание 2 больше единицы, поэтому это неравенство равносильно двойному неравенству \(0 < x - 3 \leqslant 1\), откуда \(3 < x \leqslant 4\).
2) Область определения неравенства задаётся системой \[\begin{cases} 4 - x^2 \geqslant 0, \\ \frac{x + 1}{x} > 0. \end{cases}\] Первое неравенство даёт \(-2 \leqslant x \leqslant 2\), второе — значения \(x < -1\) или \(x > 0\). Значит, область определения — множество \([-2;\ -1) \cup (0;\ 2]\).
Множитель \(\sqrt{4 - x^2}\) неотрицателен, поэтому произведение не больше нуля ровно в двух случаях: когда этот множитель равен нулю и когда второй множитель не больше нуля.
Первый множитель равен нулю при \(4 - x^2 = 0\), то есть при \(x = -2\) и при \(x = 2\); оба значения принадлежат области определения.
Неравенство \(\log_{3} \frac{x + 1}{x} + 2 \leqslant 0\) запишем так: \(\log_{3} \frac{x + 1}{x} \leqslant \log_{3} \frac{1}{9}\). Основание 3 больше единицы, поэтому это неравенство равносильно системе \[\begin{cases} \frac{x + 1}{x} \leqslant \frac{1}{9}, \\ \frac{x + 1}{x} > 0. \end{cases}\] Первое неравенство: \(\frac{x + 1}{x} - \frac{1}{9} \leqslant 0\); \(\frac{8x + 9}{9x} \leqslant 0\). Нуль числителя — число \(-\frac{9}{8}\), нуль знаменателя — число 0. Методом интервалов получаем \(-\frac{9}{8} \leqslant x < 0\). Вместе со вторым условием остаётся \(-\frac{9}{8} \leqslant x < -1\); эти значения принадлежат области определения.
3) Область определения неравенства задаётся системой \[\begin{cases} \log_{\frac{1}{5}} |x - 2| \geqslant 0, \\ |x - 2| > 0. \end{cases}\] Первое неравенство запишем так: \(\log_{\frac{1}{5}} |x - 2| \geqslant \log_{\frac{1}{5}} 1\). Основание \(\frac{1}{5}\) меньше единицы, поэтому это неравенство равносильно двойному неравенству \(0 < |x - 2| \leqslant 1\). Отсюда \(1 \leqslant x \leqslant 3\) и \(x \ne 2\), то есть область определения — множество \([1;\ 2) \cup (2;\ 3]\).
Множитель \(\sqrt{\log_{\frac{1}{5}} |x - 2|}\) неотрицателен, поэтому произведение неотрицательно ровно в двух случаях: когда этот множитель равен нулю и когда первый множитель неотрицателен.
Корень равен нулю при \(|x - 2| = 1\), то есть при \(x = 1\) и при \(x = 3\); оба значения принадлежат области определения.
Дискриминант трёхчлена \(x^2 - 2{,}8x + 1{,}8\) равен \(7{,}84 - 7{,}2 = 0{,}64\), его корни — числа 1 и \(1{,}8\). Значит, неравенство \(x^2 - 2{,}8x + 1{,}8 \geqslant 0\) выполняется при \(x \leqslant 1\) и при \(x \geqslant 1{,}8\). Области определения из них принадлежат значение \(x = 1\) и значения из множества \(\left[\frac{9}{5};\ 2\right) \cup (2;\ 3]\).
Ответ: 1) \((3;\ 4] \cup \{5\}\); 2) \(\left[-\frac{9}{8};\ -1\right) \cup \{-2,\ 2\}\); 3) \(\{1\} \cup \left[\frac{9}{5};\ 2\right) \cup (2;\ 3]\).
