Страница 75 номер 8.22, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Исследуйте функцию и постройте её график: 1) \(f(x) = \frac{x}{e^{x}}\); 2) \(f(x) = xe^{-\frac{x^2}{2}}\); 3) \(f(x) = \log_{2}(x^2 + x)\).
1) \(D(f) = \mathbf{R}\).
Знаменатель \(e^{x}\) положителен, поэтому \(f(x) = 0\) только при \(x = 0\); при \(x < 0\) функция отрицательна, при \(x > 0\) — положительна.
\(f'(x) = \frac{e^{x} - xe^{x}}{\left(e^{x}\right)^{2}} = \frac{1 - x}{e^{x}}\), значит, \(f'(x) > 0\) при \(x < 1\) и \(f'(x) < 0\) при \(x > 1\): функция возрастает на \((-\infty;\ 1]\), убывает на \([1;\ +\infty)\), \(x_{\max} = 1\), \(f(1) = \frac{1}{e}\).
Наибольшее значение равно \(\frac{1}{e}\), поэтому область значений — \(\left(-\infty;\ \frac{1}{e}\right]\). При неограниченном возрастании \(x\) значения функции сколь угодно близки к нулю и положительны: справа график прижимается к оси абсцисс сверху; при неограниченном убывании \(x\) они неограниченно убывают.
2) \(D(f) = \mathbf{R}\).
Здесь \(e^{-\frac{x^{2}}{2}} > 0\), поэтому \(f(x) = 0\) только при \(x = 0\); при \(x < 0\) функция отрицательна, при \(x > 0\) — положительна. Так как \(f(-x) = -xe^{-\frac{x^{2}}{2}} = -f(x)\), функция нечётная и её график симметричен относительно начала координат.
\[\begin{aligned} &f'(x) = e^{-\frac{x^{2}}{2}} + x \cdot e^{-\frac{x^{2}}{2}} \cdot (-x) = {} \\ &= e^{-\frac{x^{2}}{2}}\left(1 - x^{2}\right) = e^{-\frac{x^{2}}{2}}(1 - x)(1 + x). \end{aligned}\]
Здесь \(e^{-\frac{x^{2}}{2}} > 0\), поэтому \(f'(x) > 0\) при \(-1 < x < 1\) и \(f'(x) < 0\) при \(x < -1\) и при \(x > 1\): функция возрастает на \([-1;\ 1]\), убывает на \((-\infty;\ -1]\) и \([1;\ +\infty)\), \(x_{\min} = -1\), \(f(-1) = -\frac{1}{\sqrt{e}}\), \(x_{\max} = 1\), \(f(1) = \frac{1}{\sqrt{e}}\).
Область значений — \(\left[-\frac{1}{\sqrt{e}};\ \frac{1}{\sqrt{e}}\right]\). При неограниченном возрастании модуля \(x\) значения функции сколь угодно близки к нулю: справа график прижимается к оси абсцисс сверху, слева — снизу.
3) Область определения: \(x^{2} + x > 0\), то есть \(x(x + 1) > 0\), откуда \(x < -1\) или \(x > 0\); \(D(f)\) — объединение промежутков \((-\infty;\ -1)\) и \((0;\ +\infty)\).
Нули функции: \(x^{2} + x = 1\); \(x^{2} + x - 1 = 0\); \(x = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}\) или \(x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\); оба корня принадлежат области определения. Логарифм по основанию 2 положителен, когда \(x^{2} + x > 1\), то есть при \(x < \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}\) и при \(x > \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\); на промежутках \(\left(\frac{-1 - \sqrt{5}}{2};\ -1\right)\) и \(\left(0;\ \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\right)\) значения функции отрицательны.
\(f'(x) = \frac{1}{\left(x^{2} + x\right)\ln 2} \cdot \left(x^{2} + x\right)' = \frac{2x + 1}{\left(x^{2} + x\right)\ln 2}\); знаменатель на области определения положителен, поэтому знак \(f'(x)\) — знак двучлена \(2x + 1\). На промежутке \((-\infty;\ -1)\) имеем \(2x + 1 < -1 < 0\) и \(f'(x) < 0\), на промежутке \((0;\ +\infty)\) имеем \(2x + 1 > 1 > 0\) и \(f'(x) > 0\): функция убывает на \((-\infty;\ -1)\), возрастает на \((0;\ +\infty)\); точка \(-\frac{1}{2}\) в область определения не входит, поэтому точек экстремума нет.
Область значений — \(\mathbf{R}\). При значениях \(x\), близких к \(-1\) слева и к нулю справа, выражение \(x^{2} + x\) становится сколь угодно малым положительным числом, а логарифм принимает сколь угодно большие по модулю отрицательные значения: прямые \(x = -1\) и \(x = 0\) — вертикальные асимптоты, причём вторая совпадает с осью ординат.
Исследуйте функцию и постройте её график: 1) \(f(x) = \frac{x}{e^{x}}\); 2) \(f(x) = xe^{-\frac{x^2}{2}}\); 3) \(f(x) = \log_{2}(x^2 + x)\).
1) Область определения функции — множество \(\mathbf{R}\).
Знаменатель \(e^{x}\) положителен, поэтому \(f(x) = 0\) только при \(x = 0\); при \(x < 0\) значения функции отрицательны, при \(x > 0\) — положительны.
Применяя теорему о производной частного, получаем: \(f'(x) = \frac{e^{x} - xe^{x}}{\left(e^{x}\right)^{2}} = \frac{1 - x}{e^{x}}\). Значит, \(f'(x) > 0\) при \(x < 1\) и \(f'(x) < 0\) при \(x > 1\): функция возрастает на промежутке \((-\infty;\ 1]\), убывает на промежутке \([1;\ +\infty)\), \(x_{\max} = 1\), \(f(1) = \frac{1}{e}\).
Наибольшее значение функции равно \(\frac{1}{e}\), поэтому область значений — промежуток \(\left(-\infty;\ \frac{1}{e}\right]\). При неограниченном возрастании \(x\) значения функции становятся сколь угодно близкими к нулю, оставаясь положительными: справа график прижимается к оси абсцисс сверху. При неограниченном убывании \(x\) значения функции неограниченно убывают.
2) Область определения функции — множество \(\mathbf{R}\).
Множитель \(e^{-\frac{x^{2}}{2}}\) положителен, поэтому \(f(x) = 0\) только при \(x = 0\); при \(x < 0\) значения функции отрицательны, при \(x > 0\) — положительны. Так как \(f(-x) = -xe^{-\frac{x^{2}}{2}} = -f(x)\), функция нечётная и её график симметричен относительно начала координат.
Применяя теорему о производной произведения, получаем: \[\begin{aligned} &f'(x) = e^{-\frac{x^{2}}{2}} + x \cdot e^{-\frac{x^{2}}{2}} \cdot (-x) = {} \\ &= e^{-\frac{x^{2}}{2}}\left(1 - x^{2}\right) = e^{-\frac{x^{2}}{2}}(1 - x)(1 + x). \end{aligned}\]
Множитель \(e^{-\frac{x^{2}}{2}}\) положителен, поэтому \(f'(x) > 0\) при \(-1 < x < 1\) и \(f'(x) < 0\) при \(x < -1\) и при \(x > 1\). Значит, функция возрастает на промежутке \([-1;\ 1]\), убывает на промежутках \((-\infty;\ -1]\) и \([1;\ +\infty)\), \(x_{\min} = -1\), \(f(-1) = -\frac{1}{\sqrt{e}}\), \(x_{\max} = 1\), \(f(1) = \frac{1}{\sqrt{e}}\).
Область значений — отрезок \(\left[-\frac{1}{\sqrt{e}};\ \frac{1}{\sqrt{e}}\right]\). При неограниченном возрастании модуля \(x\) значения функции становятся сколь угодно близкими к нулю: справа график прижимается к оси абсцисс сверху, слева — снизу.
3) Область определения задаётся условием \(x^{2} + x > 0\), то есть \(x(x + 1) > 0\), откуда \(x < -1\) или \(x > 0\). Значит, \(D(f)\) — объединение промежутков \((-\infty;\ -1)\) и \((0;\ +\infty)\).
Нули функции находим из уравнения \(x^{2} + x = 1\): \(x^{2} + x - 1 = 0\); \(x = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}\) или \(x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\); оба корня принадлежат области определения. Логарифм по основанию 2 положителен, когда \(x^{2} + x > 1\), то есть при \(x < \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}\) и при \(x > \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\); на промежутках \(\left(\frac{-1 - \sqrt{5}}{2};\ -1\right)\) и \(\left(0;\ \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\right)\) значения функции отрицательны.
Имеем: \(f'(x) = \frac{1}{\left(x^{2} + x\right)\ln 2} \cdot \left(x^{2} + x\right)' = \frac{2x + 1}{\left(x^{2} + x\right)\ln 2}\). Знаменатель на области определения положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком двучлена \(2x + 1\). На промежутке \((-\infty;\ -1)\) имеем \(2x + 1 < -1 < 0\) и \(f'(x) < 0\), на промежутке \((0;\ +\infty)\) имеем \(2x + 1 > 1 > 0\) и \(f'(x) > 0\). Значит, функция убывает на промежутке \((-\infty;\ -1)\), возрастает на промежутке \((0;\ +\infty)\); точка \(-\frac{1}{2}\) области определения не принадлежит, поэтому точек экстремума у функции нет.
Область значений — множество \(\mathbf{R}\). При значениях \(x\), близких к \(-1\) слева и к нулю справа, выражение \(x^{2} + x\) становится сколь угодно малым положительным числом, а логарифм принимает сколь угодно большие по модулю отрицательные значения: прямые \(x = -1\) и \(x = 0\) — вертикальные асимптоты, причём вторая из них совпадает с осью ординат.
