Страница 66 номер 7.23, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

Во всех пунктах основание логарифма зависит от \(x\), поэтому каждое неравенство равносильно совокупности двух систем: в первой основание меньше единицы (тогда знак неравенства между выражениями под знаками логарифмов переворачивается), во второй — больше единицы.

1) Так как \(1 = \log_{2x - 3}(2x - 3)\), данное неравенство можно записать так: \(\log_{2x - 3} x > \log_{2x - 3}(2x - 3)\).

Первая система: \[\begin{cases} 0 < 2x - 3 < 1, \\ 0 < x < 2x - 3. \end{cases}\] Первое двойное неравенство даёт \(\frac{3}{2} < x < 2\), а неравенство \(x < 2x - 3\) — значения \(x > 3\). Общих значений нет, поэтому эта система решений не имеет.

Вторая система: \[\begin{cases} 2x - 3 > 1, \\ x > 2x - 3 > 0. \end{cases}\] Условие \(2x - 3 > 0\) следует из условия \(2x - 3 > 1\). Отсюда \(x > 2\) и \(x < 3\), то есть \(2 < x < 3\).

2) Так как \(0 = \log_{x - 2} 1\), данное неравенство можно записать так: \(\log_{x - 2}(2x - 9) < \log_{x - 2} 1\).

Первая система: \[\begin{cases} 0 < x - 2 < 1, \\ 2x - 9 > 1. \end{cases}\] Отсюда \(2 < x < 3\) и \(x > 5\); общих значений нет, поэтому эта система решений не имеет.

Вторая система: \[\begin{cases} x - 2 > 1, \\ 0 < 2x - 9 < 1. \end{cases}\] Отсюда \(x > 3\) и \(4{,}5 < x < 5\), то есть \(4{,}5 < x < 5\).

3) Так как \(1 = \log_{x + 1}(x + 1)\), данное неравенство можно записать так: \(\log_{x + 1}(5 - x) > \log_{x + 1}(x + 1)\).

Первая система: \[\begin{cases} 0 < x + 1 < 1, \\ 0 < 5 - x < x + 1. \end{cases}\] Отсюда \(-1 < x < 0\) и \(x > 2\); общих значений нет, поэтому эта система решений не имеет.

Вторая система: \[\begin{cases} x + 1 > 1, \\ 5 - x > x + 1 > 0. \end{cases}\] Условие \(x + 1 > 0\) следует из условия \(x + 1 > 1\). Отсюда \(x > 0\) и \(x < 2\), то есть \(0 < x < 2\).

4) Так как \(1 = \log_{x - 2}(x - 2)\), данное неравенство можно записать так: \(\log_{x - 2}(2x - 7) < \log_{x - 2}(x - 2)\).

Первая система: \[\begin{cases} 0 < x - 2 < 1, \\ 2x - 7 > x - 2 > 0. \end{cases}\] Отсюда \(2 < x < 3\) и \(x > 5\); общих значений нет, поэтому эта система решений не имеет.

Вторая система: \[\begin{cases} x - 2 > 1, \\ 0 < 2x - 7 < x - 2. \end{cases}\] Отсюда \(x > 3\), \(x > 3{,}5\) и \(x < 5\), то есть \(3{,}5 < x < 5\).

5) Так как \(2 = \log_{x} x^2\), данное неравенство можно записать так: \(\log_{x}(x + 2) \leqslant \log_{x} x^2\).

Первая система: \[\begin{cases} 0 < x < 1, \\ x + 2 \geqslant x^2 > 0. \end{cases}\] Неравенство \(x^2 - x - 2 \leqslant 0\), то есть \((x - 2)(x + 1) \leqslant 0\), даёт \(-1 \leqslant x \leqslant 2\), а условие \(x^2 > 0\) выполняется при всех \(x \ne 0\). Значит, годится весь промежуток \(0 < x < 1\).

Вторая система: \[\begin{cases} x > 1, \\ 0 < x + 2 \leqslant x^2. \end{cases}\] Неравенство \(x^2 - x - 2 \geqslant 0\) даёт \(x \leqslant -1\) или \(x \geqslant 2\), а условие \(x + 2 > 0\) при \(x > 1\) выполняется. Вместе с \(x > 1\) получаем \(x \geqslant 2\).

6) Так как \(1 = \log_{x} x\), данное неравенство можно записать так: \(\log_{x}(2x^2 - 3x) \leqslant \log_{x} x\).

Первая система: \[\begin{cases} 0 < x < 1, \\ 2x^2 - 3x \geqslant x > 0. \end{cases}\] Неравенство \(2x^2 - 4x \geqslant 0\), то есть \(2x(x - 2) \geqslant 0\), при \(x > 0\) даёт \(x \geqslant 2\). Вместе с условием \(x < 1\) это невозможно, поэтому эта система решений не имеет.

Вторая система: \[\begin{cases} x > 1, \\ 0 < 2x^2 - 3x \leqslant x. \end{cases}\] Неравенство \(2x^2 - 3x > 0\), то есть \(x(2x - 3) > 0\), при \(x > 1\) даёт \(x > 1{,}5\). Неравенство \(2x^2 - 4x \leqslant 0\) даёт \(0 \leqslant x \leqslant 2\). Значит, \(1{,}5 < x \leqslant 2\).

Ответ: 1) \((2;\ 3)\); 2) \((4{,}5;\ 5)\); 3) \((0;\ 2)\); 4) \((3{,}5;\ 5)\); 5) \((0;\ 1) \cup [2;\ +\infty)\); 6) \((1{,}5;\ 2]\).