Страница 72 номер 8.6, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Вычислите значение производной функции \(f\) в точке \(x_0\): 1) \(f(x) = e^{5x} + e^{-4x}\), \(x_0 = 0\); 2) \(f(x) = e^{-x} \operatorname{tg} x\), \(x_0 = 0\); 3) \(f(x) = 4^{x^2 - 3x - 4}\), \(x_0 = -1\).
1) \(f'(x) = (e^{5x})' + (e^{-4x})' = 5e^{5x} - 4e^{-4x}\).
Тогда \(f'(0) = 5e^{0} - 4e^{0} = 5 - 4 = 1\).
2) \[\begin{aligned} &f'(x) = (e^{-x})' \cdot \operatorname{tg} x + (\operatorname{tg} x)' \cdot e^{-x} = {} \\ &= -e^{-x}\operatorname{tg} x + \frac{e^{-x}}{\cos^{2} x}. \end{aligned}\]
Тогда \(f'(0) = -e^{0}\operatorname{tg} 0 + \frac{e^{0}}{\cos^{2} 0} = 0 + 1 = 1\).
3) \[f'(x) = 4^{x^{2} - 3x - 4}\ln 4 \cdot (x^{2} - 3x - 4)' = 4^{x^{2} - 3x - 4}(2x - 3)\ln 4.\]
При \(x_{0} = -1\) показатель равен \(1 + 3 - 4 = 0\), а второй множитель равен \(-2 - 3 = -5\). Значит, \(f'(-1) = 4^{0} \cdot (-5) \cdot \ln 4 = -5\ln 4\).
Ответ: 1) 1; 2) 1; 3) \(-5\ln 4\).
Вычислите значение производной функции \(f\) в точке \(x_0\): 1) \(f(x) = e^{5x} + e^{-4x}\), \(x_0 = 0\); 2) \(f(x) = e^{-x} \operatorname{tg} x\), \(x_0 = 0\); 3) \(f(x) = 4^{x^2 - 3x - 4}\), \(x_0 = -1\).
1) Имеем: \(f'(x) = (e^{5x})' + (e^{-4x})' = 5e^{5x} - 4e^{-4x}\).
Тогда \(f'(0) = 5e^{0} - 4e^{0} = 5 - 4 = 1\).
2) Применяя теорему о производной произведения, получаем: \[\begin{aligned} &f'(x) = (e^{-x})' \cdot \operatorname{tg} x + (\operatorname{tg} x)' \cdot e^{-x} = {} \\ &= -e^{-x}\operatorname{tg} x + \frac{e^{-x}}{\cos^{2} x}. \end{aligned}\]
Тогда \(f'(0) = -e^{0}\operatorname{tg} 0 + \frac{e^{0}}{\cos^{2} 0} = 0 + 1 = 1\).
3) Используя теорему о производной сложной функции, запишем: \[f'(x) = 4^{x^{2} - 3x - 4}\ln 4 \cdot (x^{2} - 3x - 4)' = 4^{x^{2} - 3x - 4}(2x - 3)\ln 4.\]
При \(x_{0} = -1\) показатель равен \(1 + 3 - 4 = 0\), а второй множитель равен \(-2 - 3 = -5\). Значит, \(f'(-1) = 4^{0} \cdot (-5) \cdot \ln 4 = -5\ln 4\).
Ответ: 1) 1; 2) 1; 3) \(-5\ln 4\).
