Страница 73 номер 8.13, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите уравнение горизонтальной касательной к графику функции: 1) \(f(x) = e^{x} + e^{-x}\); 2) \(f(x) = (2^{x} - 7)(2^{x} - 9)\).
Касательная горизонтальна при \(f'(x_0) = 0\); её уравнение — \(y = f(x_0)\).
1) \(f'(x) = e^{x} + e^{-x} \cdot (-x)' = e^{x} - e^{-x}\).
Из \(f'(x_0) = 0\): \(e^{x_0} = e^{-x_0}\); \(e^{2x_0} = 1\); \(2x_0 = 0\); \(x_0 = 0\). Тогда \(f(0) = e^{0} + e^{0} = 2\), и касательная — \(y = 2\).
2) \[\begin{aligned} &f'(x) = 2^{x}\ln 2 \cdot (2^{x} - 9) + (2^{x} - 7) \cdot 2^{x}\ln 2 = {} \\ &= 2^{x}\ln 2 \cdot (2 \cdot 2^{x} - 16) = 2 \cdot 2^{x}\ln 2 \cdot (2^{x} - 8). \end{aligned}\]
Множитель \(2 \cdot 2^{x}\ln 2\) положителен, поэтому \(f'(x_0) = 0\) только при \(2^{x_0} = 8\), откуда \(x_0 = 3\). Тогда \(f(3) = (8 - 7)(8 - 9) = -1\), и касательная — \(y = -1\).
Ответ: 1) \(y = 2\); 2) \(y = -1\).
Найдите уравнение горизонтальной касательной к графику функции: 1) \(f(x) = e^{x} + e^{-x}\); 2) \(f(x) = (2^{x} - 7)(2^{x} - 9)\).
Касательная горизонтальна тогда и только тогда, когда её угловой коэффициент равен нулю, то есть когда \(f'(x_0) = 0\). Уравнение такой касательной имеет вид \(y = f(x_0)\).
1) Имеем: \(f'(x) = e^{x} + e^{-x} \cdot (-x)' = e^{x} - e^{-x}\).
Из равенства \(f'(x_0) = 0\) получаем: \(e^{x_0} = e^{-x_0}\); \(e^{2x_0} = 1\); \(2x_0 = 0\); \(x_0 = 0\).
Тогда \(f(0) = e^{0} + e^{0} = 2\), и горизонтальная касательная задаётся уравнением \(y = 2\).
2) Применяя теорему о производной произведения, получаем: \[\begin{aligned} &f'(x) = 2^{x}\ln 2 \cdot (2^{x} - 9) + (2^{x} - 7) \cdot 2^{x}\ln 2 = {} \\ &= 2^{x}\ln 2 \cdot (2 \cdot 2^{x} - 16) = 2 \cdot 2^{x}\ln 2 \cdot (2^{x} - 8). \end{aligned}\]
Множитель \(2 \cdot 2^{x}\ln 2\) положителен, поэтому равенство \(f'(x_0) = 0\) выполняется только при \(2^{x_0} = 8\), откуда \(x_0 = 3\).
Тогда \(f(3) = (8 - 7)(8 - 9) = -1\), и горизонтальная касательная задаётся уравнением \(y = -1\).
Ответ: 1) \(y = 2\); 2) \(y = -1\).
