Страница 67 номер 7.25, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите неравенство \(\sqrt{2 \cdot 5^{x} - 1} > 5^{x} - 2\).
Пусть \(5^{x} = t\), причём \(t > 0\), так как показательная функция принимает только положительные значения; неравенство принимает вид \(\sqrt{2t - 1} > t - 2\).
Выражение под корнем неотрицательно: \(2t - 1 \geqslant 0\), то есть \(t \geqslant \frac{1}{2}\).
Если \(t - 2 < 0\), то есть \(\frac{1}{2} \leqslant t < 2\), то левая часть неотрицательна, а правая отрицательна, и неравенство верно при всех таких значениях \(t\).
Если \(t - 2 \geqslant 0\), то есть \(t \geqslant 2\), то обе части неотрицательны и неравенство равносильно такому: \(2t - 1 > (t - 2)^2\). Отсюда \(2t - 1 > t^2 - 4t + 4\); \(t^2 - 6t + 5 < 0\); \((t - 1)(t - 5) < 0\); \(1 < t < 5\). Вместе с условием \(t \geqslant 2\) получаем \(2 \leqslant t < 5\).
Объединяя оба случая, получаем \(\frac{1}{2} \leqslant t < 5\), то есть \(\frac{1}{2} \leqslant 5^{x} < 5\).
Так как \(\frac{1}{2} = 5^{\log_{5} \frac{1}{2}}\), а \(5 = 5^{1}\), то \(5^{\log_{5} \frac{1}{2}} \leqslant 5^{x} < 5^{1}\). Основание 5 больше единицы, поэтому \(\log_{5} \frac{1}{2} \leqslant x < 1\).
Ответ: \(\left[\log_{5} \frac{1}{2};\ 1\right)\).
Решите неравенство \(\sqrt{2 \cdot 5^{x} - 1} > 5^{x} - 2\).
Пусть \(5^{x} = t\). Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому \(t > 0\), и неравенство принимает вид \(\sqrt{2t - 1} > t - 2\).
Выражение под корнем должно быть неотрицательным: \(2t - 1 \geqslant 0\), то есть \(t \geqslant \frac{1}{2}\). Дальше разбираем два случая по знаку правой части.
Если \(t - 2 < 0\), то есть \(\frac{1}{2} \leqslant t < 2\), то левая часть неотрицательна, а правая отрицательна, и неравенство верно при всех таких значениях \(t\).
Если \(t - 2 \geqslant 0\), то есть \(t \geqslant 2\), то обе части неотрицательны и неравенство равносильно такому: \(2t - 1 > (t - 2)^2\). Отсюда \(2t - 1 > t^2 - 4t + 4\); \(t^2 - 6t + 5 < 0\); \((t - 1)(t - 5) < 0\); \(1 < t < 5\). Вместе с условием \(t \geqslant 2\) получаем \(2 \leqslant t < 5\).
Объединяя оба случая, получаем \(\frac{1}{2} \leqslant t < 5\), то есть \(\frac{1}{2} \leqslant 5^{x} < 5\).
Так как \(\frac{1}{2} = 5^{\log_{5} \frac{1}{2}}\), а \(5 = 5^{1}\), двойное неравенство принимает вид \(5^{\log_{5} \frac{1}{2}} \leqslant 5^{x} < 5^{1}\). Основание 5 больше единицы, поэтому это неравенство равносильно такому: \(\log_{5} \frac{1}{2} \leqslant x < 1\).
Ответ: \(\left[\log_{5} \frac{1}{2};\ 1\right)\).
