Страница 72 номер 8.5, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Вычислите значение производной функции \(f\) в точке \(x_0\): 1) \(f(x) = e^{3x} - 3x\), \(x_0 = 0\); 2) \(f(x) = e^{-2x} \cos 2x\), \(x_0 = 0\); 3) \(f(x) = 3^{3x - 4x^2 + 2}\), \(x_0 = 1\).
1) \(f'(x) = (e^{3x})' - (3x)' = 3e^{3x} - 3\).
Тогда \(f'(0) = 3e^{0} - 3 = 3 - 3 = 0\).
2) \[\begin{aligned} &f'(x) = (e^{-2x})' \cdot \cos 2x + (\cos 2x)' \cdot e^{-2x} = {} \\ &= -2e^{-2x}\cos 2x - 2e^{-2x}\sin 2x = -2e^{-2x}(\cos 2x + \sin 2x). \end{aligned}\]
Тогда \(f'(0) = -2e^{0}(\cos 0 + \sin 0) = -2 \cdot 1 \cdot (1 + 0) = -2\).
3) \[f'(x) = 3^{3x - 4x^{2} + 2}\ln 3 \cdot (3x - 4x^{2} + 2)' = 3^{3x - 4x^{2} + 2}(3 - 8x)\ln 3.\]
При \(x_{0} = 1\) показатель равен \(3 - 4 + 2 = 1\), а второй множитель равен \(3 - 8 = -5\). Значит, \(f'(1) = 3 \cdot (-5) \cdot \ln 3 = -15\ln 3\).
Ответ: 1) 0; 2) \(-2\); 3) \(-15\ln 3\).
Вычислите значение производной функции \(f\) в точке \(x_0\): 1) \(f(x) = e^{3x} - 3x\), \(x_0 = 0\); 2) \(f(x) = e^{-2x} \cos 2x\), \(x_0 = 0\); 3) \(f(x) = 3^{3x - 4x^2 + 2}\), \(x_0 = 1\).
1) Имеем: \(f'(x) = (e^{3x})' - (3x)' = 3e^{3x} - 3\).
Тогда \(f'(0) = 3e^{0} - 3 = 3 - 3 = 0\).
2) Применяя теорему о производной произведения, получаем: \[\begin{aligned} &f'(x) = (e^{-2x})' \cdot \cos 2x + (\cos 2x)' \cdot e^{-2x} = {} \\ &= -2e^{-2x}\cos 2x - 2e^{-2x}\sin 2x = -2e^{-2x}(\cos 2x + \sin 2x). \end{aligned}\]
Тогда \(f'(0) = -2e^{0}(\cos 0 + \sin 0) = -2 \cdot 1 \cdot (1 + 0) = -2\).
3) Используя теорему о производной сложной функции, запишем: \[f'(x) = 3^{3x - 4x^{2} + 2}\ln 3 \cdot (3x - 4x^{2} + 2)' = 3^{3x - 4x^{2} + 2}(3 - 8x)\ln 3.\]
При \(x_{0} = 1\) показатель равен \(3 - 4 + 2 = 1\), а второй множитель равен \(3 - 8 = -5\). Значит, \(f'(1) = 3 \cdot (-5) \cdot \ln 3 = -15\ln 3\).
Ответ: 1) 0; 2) \(-2\); 3) \(-15\ln 3\).
