Страница 73 номер 8.12, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Уравнение касательной: \(y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\).
1) \(f'(x) = e^{5x} \cdot (5x)' = 5e^{5x}\); \(f(0) = e^{0} = 1\), \(f'(0) = 5e^{0} = 5\), откуда \(y = 1 + 5(x - 0)\), то есть \(y = 5x + 1\).
2) \(f'(x) = 2e^{x} + \sin x\); \(f(0) = 2e^{0} - \cos 0 = 2 - 1 = 1\), \(f'(0) = 2e^{0} + \sin 0 = 2\), откуда \(y = 1 + 2(x - 0)\), то есть \(y = 2x + 1\).
3) \(f'(x) = 3^{2x - 3} \ln 3 \cdot (2x - 3)' = 2 \cdot 3^{2x - 3} \ln 3\); \(f(2) = 3^{1} = 3\), \(f'(2) = 2 \cdot 3^{1} \ln 3 = 6\ln 3\), откуда \(y = 3 + 6\ln 3 \cdot (x - 2)\), то есть \(y = 6x\ln 3 - 12\ln 3 + 3\).
4) Здесь \(\ln 4\) — число, поэтому \(f'(x) = 4\); \(f(1) = 4 - \ln 4\), \(f'(1) = 4\), откуда \(y = 4 - \ln 4 + 4(x - 1)\), то есть \(y = 4x - \ln 4\). Графиком служит прямая, и касательная совпадает с ней самой.
5) Область определения: \(3x - 5 > 0\), то есть \(x > \frac{5}{3}\); абсцисса \(x_0 = 2\) этому условию удовлетворяет.
\(f'(x) = \frac{1}{3x - 5} \cdot (3x - 5)' = \frac{3}{3x - 5}\); \(f(2) = \ln 1 = 0\), \(f'(2) = \frac{3}{1} = 3\), откуда \(y = 0 + 3(x - 2)\), то есть \(y = 3x - 6\).
6) Область определения: \(x + 3 > 0\), то есть \(x > -3\); абсцисса \(x_0 = 1\) этому условию удовлетворяет.
\(f'(x) = \frac{1}{(x + 3)\ln 2} \cdot (x + 3)' = \frac{1}{(x + 3)\ln 2}\); \(f(1) = \log_{2} 4 = 2\), \(f'(1) = \frac{1}{4\ln 2}\), откуда \(y = 2 + \frac{1}{4\ln 2}(x - 1)\), то есть \(y = \frac{x}{4\ln 2} - \frac{1}{4\ln 2} + 2\).
Ответ: 1) \(y = 5x + 1\); 2) \(y = 2x + 1\); 3) \(y = 6x\ln 3 - 12\ln 3 + 3\); 4) \(y = 4x - \ln 4\); 5) \(y = 3x - 6\); 6) \(y = \frac{x}{4\ln 2} - \frac{1}{4\ln 2} + 2\).
Уравнение касательной к графику функции \(f\) в точке с абсциссой \(x_0\) имеет вид \(y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\).
1) Используя теорему о производной сложной функции, получаем: \(f'(x) = e^{5x} \cdot (5x)' = 5e^{5x}\).
Тогда \(f(0) = e^{0} = 1\), \(f'(0) = 5e^{0} = 5\), и уравнение касательной принимает вид \(y = 1 + 5(x - 0)\), то есть \(y = 5x + 1\).
2) Имеем: \(f'(x) = 2e^{x} + \sin x\).
Тогда \(f(0) = 2e^{0} - \cos 0 = 2 - 1 = 1\), \(f'(0) = 2e^{0} + \sin 0 = 2\), и уравнение касательной принимает вид \(y = 1 + 2(x - 0)\), то есть \(y = 2x + 1\).
3) Используя теорему о производной сложной функции, получаем: \(f'(x) = 3^{2x - 3} \ln 3 \cdot (2x - 3)' = 2 \cdot 3^{2x - 3} \ln 3\).
Тогда \(f(2) = 3^{1} = 3\), \(f'(2) = 2 \cdot 3^{1} \ln 3 = 6\ln 3\), и уравнение касательной принимает вид \(y = 3 + 6\ln 3 \cdot (x - 2)\), то есть \(y = 6x\ln 3 - 12\ln 3 + 3\).
4) Здесь \(\ln 4\) — число, поэтому \(f'(x) = 4\).
Тогда \(f(1) = 4 - \ln 4\), \(f'(1) = 4\), и уравнение касательной принимает вид \(y = 4 - \ln 4 + 4(x - 1)\), то есть \(y = 4x - \ln 4\). Графиком данной функции служит прямая, и касательная совпадает с ней самой.
5) Область определения функции задаётся условием \(3x - 5 > 0\), откуда \(x > \frac{5}{3}\); абсцисса \(x_0 = 2\) этому условию удовлетворяет.
Используя теорему о производной сложной функции, получаем: \(f'(x) = \frac{1}{3x - 5} \cdot (3x - 5)' = \frac{3}{3x - 5}\).
Тогда \(f(2) = \ln 1 = 0\), \(f'(2) = \frac{3}{1} = 3\), и уравнение касательной принимает вид \(y = 0 + 3(x - 2)\), то есть \(y = 3x - 6\).
6) Область определения функции задаётся условием \(x + 3 > 0\), откуда \(x > -3\); абсцисса \(x_0 = 1\) этому условию удовлетворяет.
Используя теорему о производной сложной функции, получаем: \(f'(x) = \frac{1}{(x + 3)\ln 2} \cdot (x + 3)' = \frac{1}{(x + 3)\ln 2}\).
Тогда \(f(1) = \log_{2} 4 = 2\), \(f'(1) = \frac{1}{4\ln 2}\), и уравнение касательной принимает вид \(y = 2 + \frac{1}{4\ln 2}(x - 1)\), то есть \(y = \frac{x}{4\ln 2} - \frac{1}{4\ln 2} + 2\).
Ответ: 1) \(y = 5x + 1\); 2) \(y = 2x + 1\); 3) \(y = 6x\ln 3 - 12\ln 3 + 3\); 4) \(y = 4x - \ln 4\); 5) \(y = 3x - 6\); 6) \(y = \frac{x}{4\ln 2} - \frac{1}{4\ln 2} + 2\).
