Страница 67 номер 7.28, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите неравенство: 1) \(\sqrt{-x^2 + 6x - 5}\, \log_{3}(x - 2) \le 0\); 2) \(\frac{\log_{\sqrt{2}}^{2}(x - 3)}{x^2 - 4x - 5} \ge 0\).
1) ОДЗ: \[\begin{cases} -x^2 + 6x - 5 \geqslant 0, \\ x - 2 > 0. \end{cases}\]
Первое неравенство равносильно такому: \((x - 1)(x - 5) \leqslant 0\), откуда \(1 \leqslant x \leqslant 5\); второе даёт \(x > 2\). ОДЗ — промежуток \((2;\ 5]\).
Множитель \(\sqrt{-x^2 + 6x - 5}\) неотрицателен, поэтому произведение не больше нуля ровно в двух случаях: когда этот множитель равен нулю и когда второй множитель не больше нуля.
Первый множитель равен нулю при \(x = 1\) и при \(x = 5\); ОДЗ принадлежит только значение \(x = 5\).
Неравенство \(\log_{3}(x - 2) \leqslant \log_{3} 1\): основание 3 больше единицы, поэтому \(0 < x - 2 \leqslant 1\), откуда \(2 < x \leqslant 3\).
2) ОДЗ: \[\begin{cases} x - 3 > 0, \\ x^2 - 4x - 5 \ne 0. \end{cases}\]
Отсюда \(x > 3\), причём \(x \ne 5\) и \(x \ne -1\); ОДЗ — множество \((3;\ 5) \cup (5;\ +\infty)\).
Числитель \(\log_{\sqrt{2}}^{2}(x - 3)\) — квадрат, поэтому он неотрицателен, а равен нулю только при \(\log_{\sqrt{2}}(x - 3) = 0\), то есть при \(x - 3 = 1\); отсюда \(x = 4\). Значит, дробь неотрицательна ровно в двух случаях: когда числитель равен нулю и когда числитель и знаменатель положительны одновременно.
При \(x = 4\) знаменатель равен \(16 - 16 - 5 = -5\), он отличен от нуля, и дробь равна нулю: значение \(x = 4\) — решение.
Знаменатель положителен, когда \((x - 5)(x + 1) > 0\), то есть при \(x < -1\) или \(x > 5\). ОДЗ из них принадлежат значения \(x > 5\), и при них \(x \ne 4\), так что числитель положителен.
Ответ: 1) \((2;\ 3] \cup \{5\}\); 2) \((5;\ +\infty) \cup \{4\}\).
Решите неравенство: 1) \(\sqrt{-x^2 + 6x - 5}\, \log_{3}(x - 2) \le 0\); 2) \(\frac{\log_{\sqrt{2}}^{2}(x - 3)}{x^2 - 4x - 5} \ge 0\).
1) Область определения неравенства задаётся системой \[\begin{cases} -x^2 + 6x - 5 \geqslant 0, \\ x - 2 > 0. \end{cases}\] Первое неравенство равносильно такому: \((x - 1)(x - 5) \leqslant 0\), откуда \(1 \leqslant x \leqslant 5\); второе даёт \(x > 2\). Значит, область определения — промежуток \((2;\ 5]\).
Множитель \(\sqrt{-x^2 + 6x - 5}\) неотрицателен, поэтому произведение не больше нуля ровно в двух случаях: когда этот множитель равен нулю и когда второй множитель не больше нуля.
Первый множитель равен нулю при \(-x^2 + 6x - 5 = 0\), то есть при \(x = 1\) и при \(x = 5\). Области определения принадлежит только значение \(x = 5\).
Неравенство \(\log_{3}(x - 2) \leqslant 0\) запишем так: \(\log_{3}(x - 2) \leqslant \log_{3} 1\). Основание 3 больше единицы, поэтому это неравенство равносильно двойному неравенству \(0 < x - 2 \leqslant 1\), откуда \(2 < x \leqslant 3\).
2) Область определения неравенства задаётся системой \[\begin{cases} x - 3 > 0, \\ x^2 - 4x - 5 \ne 0. \end{cases}\] Отсюда \(x > 3\), причём \(x \ne 5\) и \(x \ne -1\); значит, область определения — множество \((3;\ 5) \cup (5;\ +\infty)\).
Числитель \(\log_{\sqrt{2}}^{2}(x - 3)\) — квадрат, поэтому он неотрицателен, а равен нулю только при \(\log_{\sqrt{2}}(x - 3) = 0\), то есть при \(x - 3 = 1\); отсюда \(x = 4\). Значит, дробь неотрицательна ровно в двух случаях: когда числитель равен нулю и когда числитель и знаменатель положительны одновременно.
При \(x = 4\) знаменатель равен \(16 - 16 - 5 = -5\), он отличен от нуля, и дробь равна нулю. Значит, значение \(x = 4\) — решение.
Знаменатель положителен, когда \((x - 5)(x + 1) > 0\), то есть при \(x < -1\) или \(x > 5\). Области определения из них принадлежат значения \(x > 5\), и при них \(x \ne 4\), так что числитель положителен.
Ответ: 1) \((2;\ 3] \cup \{5\}\); 2) \((5;\ +\infty) \cup \{4\}\).
