Страница 67 номер 7.29, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Для каждого значения параметра \(a\) решите неравенство \((2^{x} - a)\sqrt{x - 3} \ge 0\).
ОДЗ: \(x - 3 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant 3\).
При \(x = 3\) множитель \(\sqrt{x - 3}\) равен нулю, произведение равно нулю, и неравенство выполняется при любом значении параметра: число 3 — решение при всех значениях параметра.
При \(x > 3\) имеем \(\sqrt{x - 3} > 0\), поэтому неравенство равносильно такому: \(2^{x} - a \geqslant 0\), то есть \(2^{x} \geqslant a\).
Если \(a \leqslant 0\), то неравенство \(2^{x} \geqslant a\) выполняется при всех значениях \(x\), так как \(2^{x} > 0\); подходят все \(x > 3\).
Если \(a > 0\), то \(a = 2^{\log_{2} a}\) и неравенство принимает вид \(2^{x} \geqslant 2^{\log_{2} a}\). Основание 2 больше единицы, поэтому \(x \geqslant \log_{2} a\).
Сравним число \(\log_{2} a\) с числом 3. При \(0 < a \leqslant 8\) имеем \(\log_{2} a \leqslant \log_{2} 8\), то есть \(\log_{2} a \leqslant 3\), и условию \(x \geqslant \log_{2} a\) удовлетворяют все \(x > 3\). При \(a > 8\) имеем \(\log_{2} a > 3\), и из промежутка \(x > 3\) остаются только значения \(x \geqslant \log_{2} a\).
Значит, при \(a \leqslant 8\) решениями служат число 3 и все \(x > 3\), что вместе даёт промежуток \([3;\ +\infty)\); при \(a > 8\) — число 3 и все \(x \geqslant \log_{2} a\), причём \(\log_{2} a > 3\), поэтому эти множества не смыкаются.
Ответ: при \(a \leqslant 8\) множество решений — промежуток \([3;\ +\infty)\); при \(a > 8\) множество решений — \([\log_{2} a;\ +\infty) \cup \{3\}\).
Для каждого значения параметра \(a\) решите неравенство \((2^{x} - a)\sqrt{x - 3} \ge 0\).
Область определения неравенства задаётся условием \(x - 3 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant 3\).
При \(x = 3\) множитель \(\sqrt{x - 3}\) равен нулю, поэтому произведение равно нулю и неравенство выполняется при любом значении параметра. Значит, число 3 — решение неравенства при всех значениях параметра.
При \(x > 3\) имеем \(\sqrt{x - 3} > 0\), поэтому неравенство равносильно такому: \(2^{x} - a \geqslant 0\), то есть \(2^{x} \geqslant a\).
Если \(a \leqslant 0\), то неравенство \(2^{x} \geqslant a\) выполняется при всех значениях \(x\), так как \(2^{x} > 0\). Значит, подходят все \(x > 3\).
Если \(a > 0\), то \(a = 2^{\log_{2} a}\) и неравенство принимает вид \(2^{x} \geqslant 2^{\log_{2} a}\). Основание 2 больше единицы, поэтому это неравенство равносильно такому: \(x \geqslant \log_{2} a\).
Осталось сравнить число \(\log_{2} a\) с числом 3. Если \(0 < a \leqslant 8\), то \(\log_{2} a \leqslant \log_{2} 8\), то есть \(\log_{2} a \leqslant 3\), и условию \(x \geqslant \log_{2} a\) удовлетворяют все \(x > 3\). Если же \(a > 8\), то \(\log_{2} a > 3\), и из промежутка \(x > 3\) остаются только значения \(x \geqslant \log_{2} a\).
Значит, при \(a \leqslant 8\) решениями служат число 3 и все \(x > 3\), что вместе даёт промежуток \([3;\ +\infty)\); при \(a > 8\) решениями служат число 3 и все \(x \geqslant \log_{2} a\), причём \(\log_{2} a > 3\), поэтому эти множества не смыкаются.
Ответ: при \(a \leqslant 8\) множество решений — промежуток \([3;\ +\infty)\); при \(a > 8\) множество решений — \([\log_{2} a;\ +\infty) \cup \{3\}\).
