Страница 73 номер 8.10, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции \(f\) в точке с абсциссой \(x_0\): 1) \(f(x) = e^{1 - x}\), \(x_0 = 1\); 2) \(f(x) = \log_{5}(x + 2)\), \(x_0 = -1\).
Угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой \(x_{0}\) равен \(f'(x_{0})\).
1) Производная внутренней функции \(1 - x\) равна \(-1\), поэтому \(f'(x) = e^{1 - x} \cdot (1 - x)' = -e^{1 - x}\).
Тогда \(k = f'(1) = -e^{1 - 1} = -e^{0} = -1\).
2) Область определения функции задаётся условием \(x + 2 > 0\), и точка \(x_{0} = -1\) ему удовлетворяет: \(f'(x) = \frac{1}{(x + 2)\ln 5} \cdot (x + 2)' = \frac{1}{(x + 2)\ln 5}\).
Тогда \(k = f'(-1) = \frac{1}{(-1 + 2)\ln 5} = \frac{1}{\ln 5}\).
Ответ: 1) \(-1\); 2) \(\frac{1}{\ln 5}\).
Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции \(f\) в точке с абсциссой \(x_0\): 1) \(f(x) = e^{1 - x}\), \(x_0 = 1\); 2) \(f(x) = \log_{5}(x + 2)\), \(x_0 = -1\).
Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой \(x_{0}\) равен значению производной этой функции в точке \(x_{0}\), то есть \(k = f'(x_{0})\).
1) Производная внутренней функции \(1 - x\) равна \(-1\), поэтому \(f'(x) = e^{1 - x} \cdot (1 - x)' = -e^{1 - x}\).
Тогда \(k = f'(1) = -e^{1 - 1} = -e^{0} = -1\).
2) Область определения функции задаётся условием \(x + 2 > 0\), и точка \(x_{0} = -1\) ему удовлетворяет. Применяя теорему о производной сложной функции, получаем: \(f'(x) = \frac{1}{(x + 2)\ln 5} \cdot (x + 2)' = \frac{1}{(x + 2)\ln 5}\).
Тогда \(k = f'(-1) = \frac{1}{(-1 + 2)\ln 5} = \frac{1}{\ln 5}\).
Ответ: 1) \(-1\); 2) \(\frac{1}{\ln 5}\).
