Страница 66 номер 7.19, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите множество решений неравенства: 1) \(\log_{2}^{2}(4x) + 2\log_{2} x - 11 < 0\); 2) \(\log_{3}^{2}(27x) + 3\log_{3} x - 19 \ge 0\); 3) \(\frac{\lg^{2} x + \lg x - 6}{\lg x} \ge 0\); 4) \(2\log_{5} x - \log_{x} 5 \le 1\).
1) ОДЗ — промежуток \((0;\ +\infty)\): при \(x > 0\) выражение \(4x\) также положительно. На нём \(\log_{2}(4x) = \log_{2} 4 + \log_{2} x = 2 + \log_{2} x\), поэтому неравенство принимает вид \((2 + \log_{2} x)^2 + 2\log_{2} x - 11 < 0\).
Пусть \(\log_{2} x = t\). Получаем: \((t + 2)^2 + 2t - 11 < 0\); \(t^2 + 6t - 7 < 0\); \((t + 7)(t - 1) < 0\); \(-7 < t < 1\).
Тогда \(\log_{2} 2^{-7} < \log_{2} x < \log_{2} 2\). Основание 2 больше единицы, поэтому \(2^{-7} < x < 2\), то есть \(\frac{1}{128} < x < 2\).
2) ОДЗ — промежуток \((0;\ +\infty)\). На нём \(\log_{3}(27x) = \log_{3} 27 + \log_{3} x = 3 + \log_{3} x\).
Пусть \(\log_{3} x = t\). Получаем: \((t + 3)^2 + 3t - 19 \geqslant 0\); \(t^2 + 9t - 10 \geqslant 0\); \((t + 10)(t - 1) \geqslant 0\); \[\left[\begin{array}{l} t \leqslant -10, \\ t \geqslant 1. \end{array}\right.\]
Тогда \[\left[\begin{array}{l} \log_{3} x \leqslant \log_{3} 3^{-10}, \\ \log_{3} x \geqslant \log_{3} 3; \end{array}\right. \quad \left[\begin{array}{l} 0 < x \leqslant 3^{-10}, \\ x \geqslant 3. \end{array}\right.\]
3) ОДЗ: \(x > 0\) и \(\lg x \ne 0\), то есть \(x \ne 1\).
Пусть \(\lg x = t\), причём \(t \ne 0\). Получаем: \(\frac{t^2 + t - 6}{t} \geqslant 0\); \(\frac{(t + 3)(t - 2)}{t} \geqslant 0\). Нули числителя — числа \(-3\) и 2, нуль знаменателя — число 0, и методом интервалов получаем: \[\left[\begin{array}{l} -3 \leqslant t < 0, \\ t \geqslant 2. \end{array}\right.\]
Тогда \[\left[\begin{array}{l} \lg 10^{-3} \leqslant \lg x < \lg 1, \\ \lg x \geqslant \lg 100; \end{array}\right. \quad \left[\begin{array}{l} 0{,}001 \leqslant x < 1, \\ x \geqslant 100. \end{array}\right.\]
4) ОДЗ: \(x > 0\) и \(x \ne 1\) — иначе логарифм с основанием \(x\) не определён. Так как \(\log_{x} 5 = \frac{1}{\log_{5} x}\), неравенство принимает вид \(2\log_{5} x - \frac{1}{\log_{5} x} \leqslant 1\).
Пусть \(\log_{5} x = t\), причём \(t \ne 0\). Получаем: \(2t - \frac{1}{t} - 1 \leqslant 0\); \(\frac{2t^2 - t - 1}{t} \leqslant 0\); \(\frac{(2t + 1)(t - 1)}{t} \leqslant 0\). Нули числителя — числа \(-\frac{1}{2}\) и 1, нуль знаменателя — число 0, и методом интервалов получаем: \[\left[\begin{array}{l} t \leqslant -\frac{1}{2}, \\ 0 < t \leqslant 1. \end{array}\right.\]
Так как \(-\frac{1}{2} = \log_{5} \frac{1}{\sqrt{5}}\), то \[\left[\begin{array}{l} \log_{5} x \leqslant \log_{5} \frac{1}{\sqrt{5}}, \\ \log_{5} 1 < \log_{5} x \leqslant \log_{5} 5; \end{array}\right. \quad \left[\begin{array}{l} 0 < x \leqslant \frac{1}{\sqrt{5}}, \\ 1 < x \leqslant 5. \end{array}\right.\]
Ответ: 1) \(\left(\frac{1}{128};\ 2\right)\); 2) \((0;\ 3^{-10}] \cup [3;\ +\infty)\); 3) \([0{,}001;\ 1) \cup [100;\ +\infty)\); 4) \(\left(0;\ \frac{1}{\sqrt{5}}\right] \cup (1;\ 5]\).
Найдите множество решений неравенства: 1) \(\log_{2}^{2}(4x) + 2\log_{2} x - 11 < 0\); 2) \(\log_{3}^{2}(27x) + 3\log_{3} x - 19 \ge 0\); 3) \(\frac{\lg^{2} x + \lg x - 6}{\lg x} \ge 0\); 4) \(2\log_{5} x - \log_{x} 5 \le 1\).
1) Областью определения неравенства является промежуток \((0;\ +\infty)\): при \(x > 0\) выражение \(4x\) также положительно. На этом промежутке \(\log_{2}(4x) = \log_{2} 4 + \log_{2} x = 2 + \log_{2} x\), поэтому неравенство принимает вид \((2 + \log_{2} x)^2 + 2\log_{2} x - 11 < 0\).
Пусть \(\log_{2} x = t\). Получаем: \((t + 2)^2 + 2t - 11 < 0\); \(t^2 + 6t - 7 < 0\); \((t + 7)(t - 1) < 0\); \(-7 < t < 1\).
Возвращаемся к переменной \(x\): \(\log_{2} 2^{-7} < \log_{2} x < \log_{2} 2\). Основание 2 больше единицы, поэтому \(2^{-7} < x < 2\), то есть \(\frac{1}{128} < x < 2\).
2) Областью определения является промежуток \((0;\ +\infty)\). На нём \(\log_{3}(27x) = \log_{3} 27 + \log_{3} x = 3 + \log_{3} x\).
Пусть \(\log_{3} x = t\). Получаем: \((t + 3)^2 + 3t - 19 \geqslant 0\); \(t^2 + 9t - 10 \geqslant 0\); \((t + 10)(t - 1) \geqslant 0\); \[\left[\begin{array}{l} t \leqslant -10, \\ t \geqslant 1. \end{array}\right.\] Возвращаемся к переменной \(x\): \[\left[\begin{array}{l} \log_{3} x \leqslant \log_{3} 3^{-10}, \\ \log_{3} x \geqslant \log_{3} 3; \end{array}\right. \quad \left[\begin{array}{l} 0 < x \leqslant 3^{-10}, \\ x \geqslant 3. \end{array}\right.\]
3) Областью определения являются все \(x > 0\), при которых знаменатель отличен от нуля: \(\lg x \ne 0\), то есть \(x \ne 1\).
Пусть \(\lg x = t\), причём \(t \ne 0\). Получаем: \(\frac{t^2 + t - 6}{t} \geqslant 0\); \(\frac{(t + 3)(t - 2)}{t} \geqslant 0\). Нули числителя — числа \(-3\) и 2, нуль знаменателя — число 0. Методом интервалов получаем: \[\left[\begin{array}{l} -3 \leqslant t < 0, \\ t \geqslant 2. \end{array}\right.\] Возвращаемся к переменной \(x\): \[\left[\begin{array}{l} \lg 10^{-3} \leqslant \lg x < \lg 1, \\ \lg x \geqslant \lg 100; \end{array}\right. \quad \left[\begin{array}{l} 0{,}001 \leqslant x < 1, \\ x \geqslant 100. \end{array}\right.\]
4) Областью определения являются все \(x > 0\), при которых определён логарифм с основанием \(x\), то есть \(x \ne 1\). По свойству логарифма \(\log_{x} 5 = \frac{1}{\log_{5} x}\), поэтому неравенство принимает вид \(2\log_{5} x - \frac{1}{\log_{5} x} \leqslant 1\).
Пусть \(\log_{5} x = t\), причём \(t \ne 0\). Получаем: \(2t - \frac{1}{t} - 1 \leqslant 0\); \(\frac{2t^2 - t - 1}{t} \leqslant 0\); \(\frac{(2t + 1)(t - 1)}{t} \leqslant 0\). Нули числителя — числа \(-\frac{1}{2}\) и 1, нуль знаменателя — число 0. Методом интервалов получаем: \[\left[\begin{array}{l} t \leqslant -\frac{1}{2}, \\ 0 < t \leqslant 1. \end{array}\right.\] Так как \(-\frac{1}{2} = \log_{5} \frac{1}{\sqrt{5}}\), возвращаемся к переменной \(x\): \[\left[\begin{array}{l} \log_{5} x \leqslant \log_{5} \frac{1}{\sqrt{5}}, \\ \log_{5} 1 < \log_{5} x \leqslant \log_{5} 5; \end{array}\right. \quad \left[\begin{array}{l} 0 < x \leqslant \frac{1}{\sqrt{5}}, \\ 1 < x \leqslant 5. \end{array}\right.\]
Ответ: 1) \(\left(\frac{1}{128};\ 2\right)\); 2) \((0;\ 3^{-10}] \cup [3;\ +\infty)\); 3) \([0{,}001;\ 1) \cup [100;\ +\infty)\); 4) \(\left(0;\ \frac{1}{\sqrt{5}}\right] \cup (1;\ 5]\).
