Страница 65 номер 7.10, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите наименьшее целое решение неравенства: 1) \(\log_{\frac{1}{6}}(x + 2) \le 0\); 2) \(\log_{\frac{1}{2}}(6 - x) > -2\); 3) \(\log_{0{,}3}(4x - 3) \ge \log_{0{,}3}(x + 3)\); 4) \(\log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 2x + 1) \ge -1\).
1) \(0 = \log_{\frac{1}{6}} 1\), поэтому \(\log_{\frac{1}{6}}(x + 2) \leqslant \log_{\frac{1}{6}} 1\). Основание \(\frac{1}{6} < 1\), поэтому знак меняется на противоположный: \(x + 2 \geqslant 1\), откуда \(x \geqslant -1\); положительность аргумента при этом выполняется.
Наименьшее целое решение равно \(-1\).
2) \(-2 = \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = \log_{\frac{1}{2}} 4\), поэтому \(\log_{\frac{1}{2}}(6 - x) > \log_{\frac{1}{2}} 4\). Основание \(\frac{1}{2} < 1\), поэтому знак меняется на противоположный: \[\begin{cases} 6 - x < 4, \\ 6 - x > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x > 2, \\ x < 6; \end{cases} \quad 2 < x < 6.\]
Наименьшее целое число промежутка — 3.
3) Основание \(0{,}3 < 1\), поэтому знак меняется на противоположный: \[\begin{cases} 4x - 3 \leqslant x + 3, \\ 4x - 3 > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x \leqslant 2, \\ x > \frac{3}{4}; \end{cases} \quad \frac{3}{4} < x \leqslant 2.\]
Наименьшее целое число промежутка — 1.
4) \(-1 = \log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = \log_{\frac{1}{3}} 3\), а \(x^{2} - 2x + 1 = (x - 1)^{2}\), поэтому \(\log_{\frac{1}{3}}(x - 1)^{2} \geqslant \log_{\frac{1}{3}} 3\). Основание \(\frac{1}{3} < 1\), поэтому знак меняется на противоположный: \[\begin{cases} (x - 1)^{2} \leqslant 3, \\ (x - 1)^{2} > 0. \end{cases}\]
Из первого неравенства \(|x - 1| \leqslant \sqrt{3}\), то есть \(1 - \sqrt{3} \leqslant x \leqslant 1 + \sqrt{3}\); второе означает, что \(x \ne 1\).
Так как \(1 < \sqrt{3} < 2\), то \(-1 < 1 - \sqrt{3} < 0\) — отрицательных целых решений нет, а число 0 промежутку принадлежит и единице не равно: наименьшее целое решение равно 0.
Ответ: 1) \(-1\); 2) 3; 3) 1; 4) 0.
Найдите наименьшее целое решение неравенства: 1) \(\log_{\frac{1}{6}}(x + 2) \le 0\); 2) \(\log_{\frac{1}{2}}(6 - x) > -2\); 3) \(\log_{0{,}3}(4x - 3) \ge \log_{0{,}3}(x + 3)\); 4) \(\log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 2x + 1) \ge -1\).
1) Так как \(0 = \log_{\frac{1}{6}} 1\), имеем: \(\log_{\frac{1}{6}}(x + 2) \leqslant \log_{\frac{1}{6}} 1\). Основание \(\frac{1}{6}\) меньше единицы, поэтому \(x + 2 \geqslant 1\), откуда \(x \geqslant -1\); положительность аргумента при этом выполняется.
Наименьшее целое решение равно \(-1\).
2) Так как \(-2 = \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = \log_{\frac{1}{2}} 4\), имеем: \(\log_{\frac{1}{2}}(6 - x) > \log_{\frac{1}{2}} 4\). Основание \(\frac{1}{2}\) меньше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} 6 - x < 4, \\ 6 - x > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x > 2, \\ x < 6; \end{cases} \quad 2 < x < 6.\]
Наименьшее целое число этого промежутка — 3.
3) Основание \(0{,}3\) меньше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} 4x - 3 \leqslant x + 3, \\ 4x - 3 > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} x \leqslant 2, \\ x > \frac{3}{4}; \end{cases} \quad \frac{3}{4} < x \leqslant 2.\]
Наименьшее целое число этого промежутка — 1.
4) Так как \(-1 = \log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = \log_{\frac{1}{3}} 3\) и \(x^{2} - 2x + 1 = (x - 1)^{2}\), имеем: \(\log_{\frac{1}{3}}(x - 1)^{2} \geqslant \log_{\frac{1}{3}} 3\). Основание \(\frac{1}{3}\) меньше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} (x - 1)^{2} \leqslant 3, \\ (x - 1)^{2} > 0. \end{cases}\]
Из первого неравенства \(|x - 1| \leqslant \sqrt{3}\), то есть \(1 - \sqrt{3} \leqslant x \leqslant 1 + \sqrt{3}\). Второе неравенство означает, что \(x \ne 1\).
Так как \(1 < \sqrt{3} < 2\), то \(-1 < 1 - \sqrt{3} < 0\), поэтому отрицательных целых решений нет. Число 0 промежутку принадлежит и единице не равно, значит, наименьшее целое решение равно 0.
Ответ: 1) \(-1\); 2) 3; 3) 1; 4) 0.
