Страница 67 номер 7.24, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите неравенство: 1) \(\log_{3x - 2} x < 1\); 2) \(\log_{x}(x^2 - 7x + 13) > 0\); 3) \(\log_{x - 1}(4 - x) < 1\); 4) \(\log_{x}(6 - x) \ge 2\).
Основание логарифма зависит от \(x\), поэтому каждое неравенство равносильно совокупности двух систем: в первой основание меньше единицы, во второй — больше единицы.
1) Так как \(1 = \log_{3x - 2}(3x - 2)\), неравенство принимает вид \(\log_{3x - 2} x < \log_{3x - 2}(3x - 2)\).
Первая система: \[\begin{cases} 0 < 3x - 2 < 1, \\ x > 3x - 2 > 0. \end{cases}\]
Первое двойное неравенство даёт \(\frac{2}{3} < x < 1\), а неравенство \(x > 3x - 2\) — значения \(x < 1\). Годится весь промежуток \(\frac{2}{3} < x < 1\).
Вторая система: \[\begin{cases} 3x - 2 > 1, \\ 0 < x < 3x - 2. \end{cases}\]
Отсюда \(x > 1\) и \(x > 1\), то есть \(x > 1\).
2) Так как \(0 = \log_{x} 1\), неравенство принимает вид \(\log_{x}(x^2 - 7x + 13) > \log_{x} 1\).
Первая система: \[\begin{cases} 0 < x < 1, \\ 0 < x^2 - 7x + 13 < 1. \end{cases}\]
Неравенство \(x^2 - 7x + 12 < 0\), то есть \((x - 3)(x - 4) < 0\), даёт \(3 < x < 4\). Вместе с условием \(x < 1\) это невозможно, эта система решений не имеет.
Вторая система: \[\begin{cases} x > 1, \\ x^2 - 7x + 13 > 1. \end{cases}\]
Неравенство \(x^2 - 7x + 12 > 0\) даёт \(x < 3\) или \(x > 4\). Вместе с \(x > 1\) получаем \(1 < x < 3\) или \(x > 4\).
3) Так как \(1 = \log_{x - 1}(x - 1)\), неравенство принимает вид \(\log_{x - 1}(4 - x) < \log_{x - 1}(x - 1)\).
Первая система: \[\begin{cases} 0 < x - 1 < 1, \\ 4 - x > x - 1 > 0. \end{cases}\]
Первое двойное неравенство даёт \(1 < x < 2\), а неравенство \(4 - x > x - 1\) — значения \(x < 2{,}5\). Годится весь промежуток \(1 < x < 2\).
Вторая система: \[\begin{cases} x - 1 > 1, \\ 0 < 4 - x < x - 1. \end{cases}\]
Отсюда \(x > 2\), \(x < 4\) и \(x > 2{,}5\), то есть \(2{,}5 < x < 4\).
4) Так как \(2 = \log_{x} x^2\), неравенство принимает вид \(\log_{x}(6 - x) \geqslant \log_{x} x^2\).
Первая система: \[\begin{cases} 0 < x < 1, \\ 0 < 6 - x \leqslant x^2. \end{cases}\]
Неравенство \(x^2 + x - 6 \geqslant 0\), то есть \((x + 3)(x - 2) \geqslant 0\), даёт \(x \leqslant -3\) или \(x \geqslant 2\). Вместе с условием \(x < 1\) это невозможно, эта система решений не имеет.
Вторая система: \[\begin{cases} x > 1, \\ 6 - x \geqslant x^2 > 0. \end{cases}\]
Неравенство \(x^2 + x - 6 \leqslant 0\) даёт \(-3 \leqslant x \leqslant 2\), а условие \(x^2 > 0\) при \(x > 1\) выполняется. Вместе с \(x > 1\) получаем \(1 < x \leqslant 2\).
Ответ: 1) \(\left(\frac{2}{3};\ 1\right) \cup (1;\ +\infty)\); 2) \((1;\ 3) \cup (4;\ +\infty)\); 3) \((1;\ 2) \cup (2{,}5;\ 4)\); 4) \((1;\ 2]\).
Решите неравенство: 1) \(\log_{3x - 2} x < 1\); 2) \(\log_{x}(x^2 - 7x + 13) > 0\); 3) \(\log_{x - 1}(4 - x) < 1\); 4) \(\log_{x}(6 - x) \ge 2\).
Во всех пунктах основание логарифма зависит от \(x\), поэтому каждое неравенство равносильно совокупности двух систем: в первой основание меньше единицы, во второй — больше единицы.
1) Так как \(1 = \log_{3x - 2}(3x - 2)\), данное неравенство можно записать так: \(\log_{3x - 2} x < \log_{3x - 2}(3x - 2)\).
Первая система: \[\begin{cases} 0 < 3x - 2 < 1, \\ x > 3x - 2 > 0. \end{cases}\] Первое двойное неравенство даёт \(\frac{2}{3} < x < 1\), а неравенство \(x > 3x - 2\) — значения \(x < 1\). Значит, годится весь промежуток \(\frac{2}{3} < x < 1\).
Вторая система: \[\begin{cases} 3x - 2 > 1, \\ 0 < x < 3x - 2. \end{cases}\] Отсюда \(x > 1\) и \(x > 1\), то есть \(x > 1\).
2) Так как \(0 = \log_{x} 1\), данное неравенство можно записать так: \(\log_{x}(x^2 - 7x + 13) > \log_{x} 1\).
Первая система: \[\begin{cases} 0 < x < 1, \\ 0 < x^2 - 7x + 13 < 1. \end{cases}\] Неравенство \(x^2 - 7x + 12 < 0\), то есть \((x - 3)(x - 4) < 0\), даёт \(3 < x < 4\). Вместе с условием \(x < 1\) это невозможно, поэтому эта система решений не имеет.
Вторая система: \[\begin{cases} x > 1, \\ x^2 - 7x + 13 > 1. \end{cases}\] Неравенство \(x^2 - 7x + 12 > 0\) даёт \(x < 3\) или \(x > 4\). Вместе с \(x > 1\) получаем \(1 < x < 3\) или \(x > 4\).
3) Так как \(1 = \log_{x - 1}(x - 1)\), данное неравенство можно записать так: \(\log_{x - 1}(4 - x) < \log_{x - 1}(x - 1)\).
Первая система: \[\begin{cases} 0 < x - 1 < 1, \\ 4 - x > x - 1 > 0. \end{cases}\] Первое двойное неравенство даёт \(1 < x < 2\), а неравенство \(4 - x > x - 1\) — значения \(x < 2{,}5\). Значит, годится весь промежуток \(1 < x < 2\).
Вторая система: \[\begin{cases} x - 1 > 1, \\ 0 < 4 - x < x - 1. \end{cases}\] Отсюда \(x > 2\), \(x < 4\) и \(x > 2{,}5\), то есть \(2{,}5 < x < 4\).
4) Так как \(2 = \log_{x} x^2\), данное неравенство можно записать так: \(\log_{x}(6 - x) \geqslant \log_{x} x^2\).
Первая система: \[\begin{cases} 0 < x < 1, \\ 0 < 6 - x \leqslant x^2. \end{cases}\] Неравенство \(x^2 + x - 6 \geqslant 0\), то есть \((x + 3)(x - 2) \geqslant 0\), даёт \(x \leqslant -3\) или \(x \geqslant 2\). Вместе с условием \(x < 1\) это невозможно, поэтому эта система решений не имеет.
Вторая система: \[\begin{cases} x > 1, \\ 6 - x \geqslant x^2 > 0. \end{cases}\] Неравенство \(x^2 + x - 6 \leqslant 0\) даёт \(-3 \leqslant x \leqslant 2\), а условие \(x^2 > 0\) при \(x > 1\) выполняется. Вместе с \(x > 1\) получаем \(1 < x \leqslant 2\).
Ответ: 1) \(\left(\frac{2}{3};\ 1\right) \cup (1;\ +\infty)\); 2) \((1;\ 3) \cup (4;\ +\infty)\); 3) \((1;\ 2) \cup (2{,}5;\ 4)\); 4) \((1;\ 2]\).
