Страница 72 номер 8.7, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) ОДЗ: \(-12x > 0\), то есть \(x < 0\); точка \(x_{0} = -\frac{1}{6}\) ей принадлежит. \[f'(x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{-12x} \cdot (-12x)' = \frac{1}{6} \cdot \frac{-12}{-12x} = \frac{1}{6x}.\]
Тогда \(f'\left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{1}{6 \cdot \left(-\frac{1}{6}\right)} = -1\).
2) Здесь \(\ln x^{2}\) — логарифм квадрата, поэтому производная второго слагаемого равна \(\frac{1}{x^{2}} \cdot 2x\): \[f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2x - \frac{1}{x^{2}} \cdot (x^{2})' = x - \frac{2x}{x^{2}} = x - \frac{2}{x}.\]
Тогда \(f'(4) = 4 - \frac{2}{4} = 4 - 0{,}5 = 3{,}5\).
3) \[f'(x) = \frac{1}{(x^{2} + 3x - 2)\ln 5} \cdot (x^{2} + 3x - 2)' = \frac{2x + 3}{(x^{2} + 3x - 2)\ln 5}.\]
При \(x_{0} = -4\) знаменатель содержит \(16 - 12 - 2 = 2\), а числитель равен \(-8 + 3 = -5\). Значит, \(f'(-4) = \frac{-5}{2\ln 5} = -\frac{5}{2\ln 5}\).
4) \[f'(x) = \frac{1}{\sin \frac{x}{2}} \cdot \cos \frac{x}{2} \cdot \left(\frac{x}{2}\right)' = \frac{\cos \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}}.\]
Тогда \(f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\cos \frac{\pi}{4}}{2\sin \frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2}\), так как \(\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4}\).
Ответ: 1) \(-1\); 2) \(3{,}5\); 3) \(-\frac{5}{2\ln 5}\); 4) \(\frac{1}{2}\).
1) Область определения функции задаётся условием \(-12x > 0\), то есть \(x < 0\); точка \(x_{0} = -\frac{1}{6}\) ей принадлежит. Применяя теорему о производной сложной функции, получаем: \[f'(x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{-12x} \cdot (-12x)' = \frac{1}{6} \cdot \frac{-12}{-12x} = \frac{1}{6x}.\]
Тогда \(f'\left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{1}{6 \cdot \left(-\frac{1}{6}\right)} = -1\).
2) Здесь \(\ln x^{2}\) — логарифм квадрата, поэтому производная второго слагаемого равна \(\frac{1}{x^{2}} \cdot 2x\). Имеем: \[f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2x - \frac{1}{x^{2}} \cdot (x^{2})' = x - \frac{2x}{x^{2}} = x - \frac{2}{x}.\]
Тогда \(f'(4) = 4 - \frac{2}{4} = 4 - 0{,}5 = 3{,}5\).
3) Применяя теорему о производной сложной функции, получаем: \[f'(x) = \frac{1}{(x^{2} + 3x - 2)\ln 5} \cdot (x^{2} + 3x - 2)' = \frac{2x + 3}{(x^{2} + 3x - 2)\ln 5}.\]
При \(x_{0} = -4\) знаменатель содержит \(16 - 12 - 2 = 2\), а числитель равен \(-8 + 3 = -5\). Значит, \(f'(-4) = \frac{-5}{2\ln 5} = -\frac{5}{2\ln 5}\).
4) Данная функция — логарифм синуса от линейной функции, поэтому теорему о производной сложной функции применяем дважды: \[f'(x) = \frac{1}{\sin \frac{x}{2}} \cdot \cos \frac{x}{2} \cdot \left(\frac{x}{2}\right)' = \frac{\cos \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}}.\]
Тогда \(f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\cos \frac{\pi}{4}}{2\sin \frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2}\), так как \(\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4}\).
Ответ: 1) \(-1\); 2) \(3{,}5\); 3) \(-\frac{5}{2\ln 5}\); 4) \(\frac{1}{2}\).
