Страница 67 номер 7.31, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите систему неравенств \[\begin{cases} \log_{x}(2\sin x + 1) \le 0, \\ 0 < x < 2\pi. \end{cases}\]
Основанием логарифма служит сама переменная, поэтому \(x > 0\) и \(x \ne 1\); второе неравенство системы оставляет промежуток \(0 < x < 2\pi\), на котором условие \(x > 0\) выполняется.
Так как \(0 = \log_{x} 1\), первое неравенство принимает вид \(\log_{x}(2\sin x + 1) \leqslant \log_{x} 1\). Основание зависит от \(x\), поэтому неравенство равносильно совокупности двух систем.
Первая система: \[\begin{cases} 0 < x < 1, \\ 2\sin x + 1 \geqslant 1. \end{cases}\]
Второе неравенство равносильно такому: \(\sin x \geqslant 0\). Синус положителен на промежутке \((0;\ \pi)\), а из \(\pi > 3\) следует, что весь промежуток \(0 < x < 1\) лежит внутри промежутка \((0;\ \pi)\). Годятся все значения \(x\) из промежутка \((0;\ 1)\).
Вторая система: \[\begin{cases} 1 < x < 2\pi, \\ 0 < 2\sin x + 1 \leqslant 1. \end{cases}\]
Двойное неравенство \(0 < 2\sin x + 1 \leqslant 1\) равносильно такому: \(-\frac{1}{2} < \sin x \leqslant 0\).
Условие \(\sin x \leqslant 0\) на промежутке \((1;\ 2\pi)\) выполняется при \(\pi \leqslant x < 2\pi\). На отрезке \(\left[\pi;\ \frac{3\pi}{2}\right]\) синус убывает, а \(\sin \frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2}\), поэтому неравенство \(\sin x > -\frac{1}{2}\) выполняется там при \(x < \frac{7\pi}{6}\). На промежутке \(\left[\frac{3\pi}{2};\ 2\pi\right)\) синус возрастает, а \(\sin \frac{11\pi}{6} = -\frac{1}{2}\), поэтому неравенство \(\sin x > -\frac{1}{2}\) выполняется там при \(x > \frac{11\pi}{6}\). Вторая система даёт \[\left[\begin{array}{l} \pi \leqslant x < \frac{7\pi}{6}, \\ \frac{11\pi}{6} < x < 2\pi. \end{array}\right.\]
Ответ: \((0;\ 1) \cup \left[\pi;\ \frac{7\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{11\pi}{6};\ 2\pi\right)\).
Решите систему неравенств \[\begin{cases} \log_{x}(2\sin x + 1) \le 0, \\ 0 < x < 2\pi. \end{cases}\]
Основанием логарифма служит сама переменная, поэтому должны выполняться условия \(x > 0\) и \(x \ne 1\); второе неравенство системы оставляет промежуток \(0 < x < 2\pi\), на котором условие \(x > 0\) выполняется.
Так как \(0 = \log_{x} 1\), первое неравенство системы можно записать так: \(\log_{x}(2\sin x + 1) \leqslant \log_{x} 1\). Основание зависит от \(x\), поэтому неравенство равносильно совокупности двух систем.
Первая система: \[\begin{cases} 0 < x < 1, \\ 2\sin x + 1 \geqslant 1. \end{cases}\] Второе неравенство равносильно такому: \(\sin x \geqslant 0\). Синус положителен на промежутке \((0;\ \pi)\), а из \(\pi > 3\) следует, что весь промежуток \(0 < x < 1\) лежит внутри промежутка \((0;\ \pi)\). Значит, годятся все значения \(x\) из промежутка \((0;\ 1)\).
Вторая система: \[\begin{cases} 1 < x < 2\pi, \\ 0 < 2\sin x + 1 \leqslant 1. \end{cases}\] Двойное неравенство \(0 < 2\sin x + 1 \leqslant 1\) равносильно такому: \(-\frac{1}{2} < \sin x \leqslant 0\).
Условие \(\sin x \leqslant 0\) на промежутке \((1;\ 2\pi)\) выполняется при \(\pi \leqslant x < 2\pi\). На отрезке \(\left[\pi;\ \frac{3\pi}{2}\right]\) синус убывает, а \(\sin \frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2}\), поэтому неравенство \(\sin x > -\frac{1}{2}\) выполняется там при \(x < \frac{7\pi}{6}\). На промежутке \(\left[\frac{3\pi}{2};\ 2\pi\right)\) синус возрастает, а \(\sin \frac{11\pi}{6} = -\frac{1}{2}\), поэтому неравенство \(\sin x > -\frac{1}{2}\) выполняется там при \(x > \frac{11\pi}{6}\). Значит, вторая система даёт \[\left[\begin{array}{l} \pi \leqslant x < \frac{7\pi}{6}, \\ \frac{11\pi}{6} < x < 2\pi. \end{array}\right.\]
Ответ: \((0;\ 1) \cup \left[\pi;\ \frac{7\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{11\pi}{6};\ 2\pi\right)\).
