Страница 71 номер 8.1, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) \(y' = (4e^{x})' = 4(e^{x})' = 4e^{x}\).
2) \(y' = (e^{5x})' = e^{5x} \cdot (5x)' = 5e^{5x}\).
3) \[y' = (x^{3})' \cdot e^{x} + (e^{x})' \cdot x^{3} = 3x^{2}e^{x} + x^{3}e^{x} = x^{2}e^{x}(3 + x).\]
4) \[y' = (e^{x})' \cdot \sin x + (\sin x)' \cdot e^{x} = e^{x}\sin x + e^{x}\cos x = e^{x}(\sin x + \cos x).\]
5) \[\begin{aligned} &y' = \frac{(e^{x})' \cdot (x - 2) - (x - 2)' \cdot e^{x}}{(x - 2)^{2}} = {} \\ &= \frac{e^{x}(x - 2) - e^{x}}{(x - 2)^{2}} = \frac{e^{x}(x - 3)}{(x - 2)^{2}}. \end{aligned}\]
6) Производная внутренней функции второго слагаемого равна \(-1\): \[y' = (e^{x})' + (e^{-x})' = e^{x} + e^{-x} \cdot (-x)' = e^{x} - e^{-x}.\]
7) \(y' = (5^{x})' = 5^{x}\ln 5\).
8) \(y' = (2^{x^{2}})' = 2^{x^{2}}\ln 2 \cdot (x^{2})' = 2x \cdot 2^{x^{2}}\ln 2\).
9) \(y' = (7^{2x - 3})' = 7^{2x - 3}\ln 7 \cdot (2x - 3)' = 2 \cdot 7^{2x - 3}\ln 7\).
10) \[y' = (x)' \cdot 3^{x} + (3^{x})' \cdot x = 3^{x} + x \cdot 3^{x}\ln 3 = 3^{x}(1 + x\ln 3).\]
11) \[\begin{aligned} &y' = \frac{(2^{x} - 3)' \cdot (2^{x} + 1) - (2^{x} + 1)' \cdot (2^{x} - 3)}{(2^{x} + 1)^{2}} = {} \\ &= \frac{2^{x}\ln 2 \cdot \left((2^{x} + 1) - (2^{x} - 3)\right)}{(2^{x} + 1)^{2}} = \frac{4 \cdot 2^{x}\ln 2}{(2^{x} + 1)^{2}}. \end{aligned}\]
12) \[\begin{aligned} &y' = (0{,}3^{\operatorname{tg} x})' = 0{,}3^{\operatorname{tg} x}\ln 0{,}3 \cdot (\operatorname{tg} x)' = {} \\ &= \frac{0{,}3^{\operatorname{tg} x}\ln 0{,}3}{\cos^{2} x}. \end{aligned}\]
Основание \(0{,}3\) меньше единицы, поэтому \(\ln 0{,}3 < 0\) и производная отрицательна на всей области определения.
Ответ: 1) \(4e^{x}\); 2) \(5e^{5x}\); 3) \(x^{2}e^{x}(3 + x)\); 4) \(e^{x}(\sin x + \cos x)\); 5) \(\frac{e^{x}(x - 3)}{(x - 2)^{2}}\); 6) \(e^{x} - e^{-x}\); 7) \(5^{x}\ln 5\); 8) \(2x \cdot 2^{x^{2}}\ln 2\); 9) \(2 \cdot 7^{2x - 3}\ln 7\); 10) \(3^{x}(1 + x\ln 3)\); 11) \(\frac{4 \cdot 2^{x}\ln 2}{(2^{x} + 1)^{2}}\); 12) \(\frac{0{,}3^{\operatorname{tg} x}\ln 0{,}3}{\cos^{2} x}\).
1) Постоянный множитель выносится за знак производной: \(y' = (4e^{x})' = 4(e^{x})' = 4e^{x}\).
2) Используя теорему о производной сложной функции, запишем: \(y' = (e^{5x})' = e^{5x} \cdot (5x)' = 5e^{5x}\).
3) Применяя теорему о производной произведения, получаем: \[y' = (x^{3})' \cdot e^{x} + (e^{x})' \cdot x^{3} = 3x^{2}e^{x} + x^{3}e^{x} = x^{2}e^{x}(3 + x).\]
4) Применяя теорему о производной произведения, получаем: \[y' = (e^{x})' \cdot \sin x + (\sin x)' \cdot e^{x} = e^{x}\sin x + e^{x}\cos x = e^{x}(\sin x + \cos x).\]
5) Применяя теорему о производной частного, получаем: \[\begin{aligned} &y' = \frac{(e^{x})' \cdot (x - 2) - (x - 2)' \cdot e^{x}}{(x - 2)^{2}} = {} \\ &= \frac{e^{x}(x - 2) - e^{x}}{(x - 2)^{2}} = \frac{e^{x}(x - 3)}{(x - 2)^{2}}. \end{aligned}\]
6) Второе слагаемое — сложная функция, производная её внутренней функции равна \(-1\). Имеем: \[y' = (e^{x})' + (e^{-x})' = e^{x} + e^{-x} \cdot (-x)' = e^{x} - e^{-x}.\]
7) По формуле производной показательной функции \(y' = (5^{x})' = 5^{x}\ln 5\).
8) Используя теорему о производной сложной функции, запишем: \(y' = (2^{x^{2}})' = 2^{x^{2}}\ln 2 \cdot (x^{2})' = 2x \cdot 2^{x^{2}}\ln 2\).
9) Используя теорему о производной сложной функции, запишем: \(y' = (7^{2x - 3})' = 7^{2x - 3}\ln 7 \cdot (2x - 3)' = 2 \cdot 7^{2x - 3}\ln 7\).
10) Применяя теорему о производной произведения, получаем: \[y' = (x)' \cdot 3^{x} + (3^{x})' \cdot x = 3^{x} + x \cdot 3^{x}\ln 3 = 3^{x}(1 + x\ln 3).\]
11) Применяя теорему о производной частного, получаем: \[\begin{aligned} &y' = \frac{(2^{x} - 3)' \cdot (2^{x} + 1) - (2^{x} + 1)' \cdot (2^{x} - 3)}{(2^{x} + 1)^{2}} = {} \\ &= \frac{2^{x}\ln 2 \cdot \left((2^{x} + 1) - (2^{x} - 3)\right)}{(2^{x} + 1)^{2}} = \frac{4 \cdot 2^{x}\ln 2}{(2^{x} + 1)^{2}}. \end{aligned}\]
12) Используя теорему о производной сложной функции, запишем: \[\begin{aligned} &y' = (0{,}3^{\operatorname{tg} x})' = 0{,}3^{\operatorname{tg} x}\ln 0{,}3 \cdot (\operatorname{tg} x)' = {} \\ &= \frac{0{,}3^{\operatorname{tg} x}\ln 0{,}3}{\cos^{2} x}. \end{aligned}\]
Основание \(0{,}3\) меньше единицы, поэтому \(\ln 0{,}3 < 0\) и полученная производная отрицательна на всей области определения.
Ответ: 1) \(4e^{x}\); 2) \(5e^{5x}\); 3) \(x^{2}e^{x}(3 + x)\); 4) \(e^{x}(\sin x + \cos x)\); 5) \(\frac{e^{x}(x - 3)}{(x - 2)^{2}}\); 6) \(e^{x} - e^{-x}\); 7) \(5^{x}\ln 5\); 8) \(2x \cdot 2^{x^{2}}\ln 2\); 9) \(2 \cdot 7^{2x - 3}\ln 7\); 10) \(3^{x}(1 + x\ln 3)\); 11) \(\frac{4 \cdot 2^{x}\ln 2}{(2^{x} + 1)^{2}}\); 12) \(\frac{0{,}3^{\operatorname{tg} x}\ln 0{,}3}{\cos^{2} x}\).
