Страница 74 номер 8.19, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции: 1) \(f(x) = e^{x} + x\) на промежутке \([-1;\ 1]\); 2) \(f(x) = x^{2}e^{2x}\) на промежутке \([-2;\ 1]\); 3) \(f(x) = 7^{x^2 - 2x}\) на промежутке \([0;\ 2]\); 4) \(f(x) = 2^{x} + 2^{-x}\) на промежутке \([-1;\ 1]\).
1) \(f'(x) = e^{x} + 1 > 0\) на всей числовой прямой, поэтому на отрезке \([-1;\ 1]\) функция возрастает.
Возрастающая функция принимает наибольшее значение в правом конце отрезка, наименьшее — в левом: \(f(1) = e + 1\), \(f(-1) = e^{-1} - 1 = \frac{1}{e} - 1\).
2) \(f'(x) = 2xe^{2x} + x^{2} \cdot 2e^{2x} = 2xe^{2x}(x + 1)\).
Здесь \(2e^{2x} > 0\), поэтому \(f'(x) = 0\) при \(x = 0\) и при \(x = -1\); обе точки принадлежат отрезку \([-2;\ 1]\).
\(f(-2) = 4e^{-4} = \frac{4}{e^{4}}\), \(f(-1) = e^{-2} = \frac{1}{e^{2}}\), \(f(0) = 0\), \(f(1) = e^{2}\).
Три из этих значений положительны, четвёртое равно нулю, поэтому наименьшее — 0. Наибольшее — \(e^{2}\): ведь \(\frac{1}{e^{2}} < 1 < e^{2}\) и \(\frac{4}{e^{4}} < 4 < e^{2}\), так как \(e > 2\).
3) \(f'(x) = 7^{x^{2} - 2x}\ln 7 \cdot \left(x^{2} - 2x\right)' = 7^{x^{2} - 2x}\ln 7 \cdot (2x - 2)\).
Здесь \(7^{x^{2} - 2x}\ln 7 > 0\), поэтому \(f'(x) = 0\) при \(x = 1\), и эта точка принадлежит отрезку \([0;\ 2]\).
\(f(0) = 7^{0} = 1\), \(f(1) = 7^{-1} = \frac{1}{7}\), \(f(2) = 7^{0} = 1\). Наибольшее из них равно 1, наименьшее равно \(\frac{1}{7}\).
4) \(f'(x) = 2^{x}\ln 2 - 2^{-x}\ln 2 = \ln 2\left(2^{x} - 2^{-x}\right)\).
\(f'(x) = 0\), если \(2^{x} = 2^{-x}\), то есть \(x = -x\) и \(x = 0\); эта точка принадлежит отрезку \([-1;\ 1]\).
\(f(-1) = \frac{1}{2} + 2 = 2{,}5\), \(f(0) = 1 + 1 = 2\), \(f(1) = 2 + \frac{1}{2} = 2{,}5\). Наибольшее из них равно \(2{,}5\), наименьшее равно 2.
Ответ: 1) наибольшее значение \(e + 1\), наименьшее значение \(\frac{1}{e} - 1\); 2) наибольшее значение \(e^{2}\), наименьшее значение 0; 3) наибольшее значение 1, наименьшее значение \(\frac{1}{7}\); 4) наибольшее значение \(2{,}5\), наименьшее значение 2.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции: 1) \(f(x) = e^{x} + x\) на промежутке \([-1;\ 1]\); 2) \(f(x) = x^{2}e^{2x}\) на промежутке \([-2;\ 1]\); 3) \(f(x) = 7^{x^2 - 2x}\) на промежутке \([0;\ 2]\); 4) \(f(x) = 2^{x} + 2^{-x}\) на промежутке \([-1;\ 1]\).
1) Имеем: \(f'(x) = e^{x} + 1\). Слагаемое \(e^{x}\) положительно, поэтому \(f'(x) > 0\) на всей числовой прямой и функция \(f\) возрастает на отрезке \([-1;\ 1]\).
Наибольшего значения возрастающая функция достигает в правом конце отрезка, наименьшего — в левом: \(f(1) = e + 1\), \(f(-1) = e^{-1} - 1 = \frac{1}{e} - 1\).
2) Имеем: \(f'(x) = 2xe^{2x} + x^{2} \cdot 2e^{2x} = 2xe^{2x}(x + 1)\).
Множитель \(2e^{2x}\) положителен, поэтому \(f'(x) = 0\) при \(x = 0\) и при \(x = -1\); обе точки принадлежат отрезку \([-2;\ 1]\).
Вычислим значения функции в этих точках и на концах отрезка: \(f(-2) = 4e^{-4} = \frac{4}{e^{4}}\), \(f(-1) = e^{-2} = \frac{1}{e^{2}}\), \(f(0) = 0\), \(f(1) = e^{2}\).
Три из этих значений положительны, а четвёртое равно нулю, поэтому наименьшее из них — 0. Наибольшее — это \(e^{2}\): ведь \(\frac{1}{e^{2}} < 1 < e^{2}\) и \(\frac{4}{e^{4}} < 4 < e^{2}\), так как \(e > 2\).
3) Имеем: \(f'(x) = 7^{x^{2} - 2x}\ln 7 \cdot \left(x^{2} - 2x\right)' = 7^{x^{2} - 2x}\ln 7 \cdot (2x - 2)\).
Множитель \(7^{x^{2} - 2x}\ln 7\) положителен, поэтому \(f'(x) = 0\) при \(x = 1\), и эта точка принадлежит отрезку \([0;\ 2]\).
Вычислим значения функции в ней и на концах отрезка: \(f(0) = 7^{0} = 1\), \(f(1) = 7^{-1} = \frac{1}{7}\), \(f(2) = 7^{0} = 1\). Наибольшее из них равно 1, наименьшее равно \(\frac{1}{7}\).
4) Имеем: \(f'(x) = 2^{x}\ln 2 - 2^{-x}\ln 2 = \ln 2\left(2^{x} - 2^{-x}\right)\).
Равенство \(f'(x) = 0\) выполняется, если \(2^{x} = 2^{-x}\), то есть \(x = -x\) и \(x = 0\); эта точка принадлежит отрезку \([-1;\ 1]\).
Вычислим значения функции в ней и на концах отрезка: \(f(-1) = \frac{1}{2} + 2 = 2{,}5\), \(f(0) = 1 + 1 = 2\), \(f(1) = 2 + \frac{1}{2} = 2{,}5\). Наибольшее из них равно \(2{,}5\), наименьшее равно 2.
Ответ: 1) наибольшее значение \(e + 1\), наименьшее значение \(\frac{1}{e} - 1\); 2) наибольшее значение \(e^{2}\), наименьшее значение 0; 3) наибольшее значение 1, наименьшее значение \(\frac{1}{7}\); 4) наибольшее значение \(2{,}5\), наименьшее значение 2.
