Страница 65 номер 7.14, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите неравенство: 1) \(\log_{\frac{2}{3}}(6 - 2x) < \log_{\frac{2}{3}}(x^2 - 2x - 3)\); 2) \(\log_{0{,}1}(x^2 - 3x - 4) \ge \log_{0{,}1}(x + 1)\); 3) \(2\log_{2}(x + 5) \le 3 + \log_{2}(11 + x)\); 4) \(\lg(2x^2 - 9x + 4) \le 2\lg(x + 2)\).
1) Основание \(\frac{2}{3}\) меньше единицы, поэтому неравенство равносильно системе \[\begin{cases} 6 - 2x > x^2 - 2x - 3, \\ x^2 - 2x - 3 > 0. \end{cases}\]
\[\begin{cases} x^2 - 9 < 0, \\ (x - 3)(x + 1) > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} -3 < x < 3, \\ \left[\begin{array}{l} x < -1, \\ x > 3; \end{array}\right. \end{cases} \quad -3 < x < -1.\]
2) Основание \(0{,}1\) меньше единицы, поэтому неравенство равносильно системе \[\begin{cases} x^2 - 3x - 4 \leqslant x + 1, \\ x^2 - 3x - 4 > 0. \end{cases}\]
\[\begin{cases} x^2 - 4x - 5 \leqslant 0, \\ (x - 4)(x + 1) > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} -1 \leqslant x \leqslant 5, \\ \left[\begin{array}{l} x < -1, \\ x > 4; \end{array}\right. \end{cases} \quad 4 < x \leqslant 5.\]
3) ОДЗ: \(x + 5 > 0\) и \(11 + x > 0\); на ней \(2\log_{2}(x + 5) = \log_{2}(x + 5)^2\), а \(3 = \log_{2} 8\), поэтому неравенство принимает вид \(\log_{2}(x + 5)^2 \leqslant \log_{2}\left(8(11 + x)\right)\).
Основание 2 больше единицы, поэтому вместе с условиями ОДЗ получаем систему \[\begin{cases} (x + 5)^2 \leqslant 8(11 + x), \\ x + 5 > 0, \\ 11 + x > 0. \end{cases}\]
\[\begin{cases} x^2 + 2x - 63 \leqslant 0, \\ x > -5; \end{cases} \quad \begin{cases} (x + 9)(x - 7) \leqslant 0, \\ x > -5; \end{cases} \quad -5 < x \leqslant 7.\]
4) ОДЗ: \(2x^2 - 9x + 4 > 0\) и \(x + 2 > 0\); на ней \(2\lg(x + 2) = \lg(x + 2)^2\). Основание 10 больше единицы, поэтому неравенство равносильно системе \[\begin{cases} 2x^2 - 9x + 4 \leqslant (x + 2)^2, \\ 2x^2 - 9x + 4 > 0, \\ x + 2 > 0. \end{cases}\]
Первое неравенство даёт \(x^2 - 13x \leqslant 0\), то есть \(0 \leqslant x \leqslant 13\); при таких значениях переменной условие \(x > -2\) выполняется. Второе неравенство \((2x - 1)(x - 4) > 0\) даёт \(x < \frac{1}{2}\) или \(x > 4\). Пересечение: \[\left[\begin{array}{l} 0 \leqslant x < \frac{1}{2}, \\ 4 < x \leqslant 13. \end{array}\right.\]
Ответ: 1) \((-3;\ -1)\); 2) \((4;\ 5]\); 3) \((-5;\ 7]\); 4) \(\left[0;\ \frac{1}{2}\right) \cup (4;\ 13]\).
Решите неравенство: 1) \(\log_{\frac{2}{3}}(6 - 2x) < \log_{\frac{2}{3}}(x^2 - 2x - 3)\); 2) \(\log_{0{,}1}(x^2 - 3x - 4) \ge \log_{0{,}1}(x + 1)\); 3) \(2\log_{2}(x + 5) \le 3 + \log_{2}(11 + x)\); 4) \(\lg(2x^2 - 9x + 4) \le 2\lg(x + 2)\).
1) Основание \(\frac{2}{3}\) меньше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} 6 - 2x > x^2 - 2x - 3, \\ x^2 - 2x - 3 > 0. \end{cases}\] Отсюда \[\begin{cases} x^2 - 9 < 0, \\ (x - 3)(x + 1) > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} -3 < x < 3, \\ \left[\begin{array}{l} x < -1, \\ x > 3; \end{array}\right. \end{cases} \quad -3 < x < -1.\]
2) Основание \(0{,}1\) меньше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} x^2 - 3x - 4 \leqslant x + 1, \\ x^2 - 3x - 4 > 0. \end{cases}\] Отсюда \[\begin{cases} x^2 - 4x - 5 \leqslant 0, \\ (x - 4)(x + 1) > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} -1 \leqslant x \leqslant 5, \\ \left[\begin{array}{l} x < -1, \\ x > 4; \end{array}\right. \end{cases} \quad 4 < x \leqslant 5.\]
3) Область определения неравенства задаётся условиями \(x + 5 > 0\) и \(11 + x > 0\); на ней \(2\log_{2}(x + 5) = \log_{2}(x + 5)^2\). Кроме того, \(3 = \log_{2} 8\), поэтому неравенство принимает вид \(\log_{2}(x + 5)^2 \leqslant \log_{2}\left(8(11 + x)\right)\).
Основание 2 больше единицы, поэтому полученное неравенство вместе с условиями области определения равносильно системе \[\begin{cases} (x + 5)^2 \leqslant 8(11 + x), \\ x + 5 > 0, \\ 11 + x > 0. \end{cases}\] Отсюда \[\begin{cases} x^2 + 2x - 63 \leqslant 0, \\ x > -5; \end{cases} \quad \begin{cases} (x + 9)(x - 7) \leqslant 0, \\ x > -5; \end{cases} \quad -5 < x \leqslant 7.\]
4) Область определения задаётся условиями \(2x^2 - 9x + 4 > 0\) и \(x + 2 > 0\); на ней \(2\lg(x + 2) = \lg(x + 2)^2\). Основание 10 больше единицы, поэтому неравенство равносильно системе \[\begin{cases} 2x^2 - 9x + 4 \leqslant (x + 2)^2, \\ 2x^2 - 9x + 4 > 0, \\ x + 2 > 0. \end{cases}\] Первое неравенство системы даёт \(x^2 - 13x \leqslant 0\), то есть \(0 \leqslant x \leqslant 13\); при таких значениях переменной условие \(x > -2\) выполняется. Второе неравенство \((2x - 1)(x - 4) > 0\) даёт \(x < \frac{1}{2}\) или \(x > 4\). Пересечение найденных множеств таково: \[\left[\begin{array}{l} 0 \leqslant x < \frac{1}{2}, \\ 4 < x \leqslant 13. \end{array}\right.\]
Ответ: 1) \((-3;\ -1)\); 2) \((4;\ 5]\); 3) \((-5;\ 7]\); 4) \(\left[0;\ \frac{1}{2}\right) \cup (4;\ 13]\).
