Страница 67 номер 7.26, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите неравенство \(\sqrt{20 \cdot 3^{x} - 11} > 3^{x} - 4\).
Пусть \(3^{x} = t\), причём \(t > 0\), так как показательная функция принимает только положительные значения; неравенство принимает вид \(\sqrt{20t - 11} > t - 4\).
Выражение под корнем неотрицательно: \(20t - 11 \geqslant 0\), то есть \(t \geqslant \frac{11}{20}\).
Если \(t - 4 < 0\), то есть \(\frac{11}{20} \leqslant t < 4\), то левая часть неотрицательна, а правая отрицательна, и неравенство верно при всех таких значениях \(t\).
Если \(t - 4 \geqslant 0\), то есть \(t \geqslant 4\), то обе части неотрицательны и неравенство равносильно такому: \(20t - 11 > (t - 4)^2\). Отсюда \(20t - 11 > t^2 - 8t + 16\); \(t^2 - 28t + 27 < 0\); \((t - 1)(t - 27) < 0\); \(1 < t < 27\). Вместе с условием \(t \geqslant 4\) получаем \(4 \leqslant t < 27\).
Объединяя оба случая, получаем \(\frac{11}{20} \leqslant t < 27\), то есть \(\frac{11}{20} \leqslant 3^{x} < 27\).
Так как \(\frac{11}{20} = 3^{\log_{3} \frac{11}{20}}\), а \(27 = 3^{3}\), то \(3^{\log_{3} \frac{11}{20}} \leqslant 3^{x} < 3^{3}\). Основание 3 больше единицы, поэтому \(\log_{3} \frac{11}{20} \leqslant x < 3\).
Ответ: \(\left[\log_{3} \frac{11}{20};\ 3\right)\).
Решите неравенство \(\sqrt{20 \cdot 3^{x} - 11} > 3^{x} - 4\).
Пусть \(3^{x} = t\). Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому \(t > 0\), и неравенство принимает вид \(\sqrt{20t - 11} > t - 4\).
Выражение под корнем должно быть неотрицательным: \(20t - 11 \geqslant 0\), то есть \(t \geqslant \frac{11}{20}\). Дальше разбираем два случая по знаку правой части.
Если \(t - 4 < 0\), то есть \(\frac{11}{20} \leqslant t < 4\), то левая часть неотрицательна, а правая отрицательна, и неравенство верно при всех таких значениях \(t\).
Если \(t - 4 \geqslant 0\), то есть \(t \geqslant 4\), то обе части неотрицательны и неравенство равносильно такому: \(20t - 11 > (t - 4)^2\). Отсюда \(20t - 11 > t^2 - 8t + 16\); \(t^2 - 28t + 27 < 0\); \((t - 1)(t - 27) < 0\); \(1 < t < 27\). Вместе с условием \(t \geqslant 4\) получаем \(4 \leqslant t < 27\).
Объединяя оба случая, получаем \(\frac{11}{20} \leqslant t < 27\), то есть \(\frac{11}{20} \leqslant 3^{x} < 27\).
Так как \(\frac{11}{20} = 3^{\log_{3} \frac{11}{20}}\), а \(27 = 3^{3}\), двойное неравенство принимает вид \(3^{\log_{3} \frac{11}{20}} \leqslant 3^{x} < 3^{3}\). Основание 3 больше единицы, поэтому это неравенство равносильно такому: \(\log_{3} \frac{11}{20} \leqslant x < 3\).
Ответ: \(\left[\log_{3} \frac{11}{20};\ 3\right)\).
