Страница 73 номер 8.14, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите уравнение горизонтальной касательной к графику функции \(f(x) = (5^{x} - 65)(5^{x} + 15)\).
Касательная горизонтальна при \(f'(x_0) = 0\); её уравнение — \(y = f(x_0)\).
\[\begin{aligned} &f'(x) = 5^{x}\ln 5 \cdot (5^{x} + 15) + (5^{x} - 65) \cdot 5^{x}\ln 5 = {} \\ &= 5^{x}\ln 5 \cdot (2 \cdot 5^{x} - 50) = 2 \cdot 5^{x}\ln 5 \cdot (5^{x} - 25). \end{aligned}\]
Множитель \(2 \cdot 5^{x}\ln 5\) положителен, поэтому \(f'(x_0) = 0\) только при \(5^{x_0} = 25\), откуда \(x_0 = 2\).
\(f(2) = (25 - 65)(25 + 15) = -40 \cdot 40 = -1600\), и касательная — \(y = -1600\).
Ответ: \(y = -1600\).
Найдите уравнение горизонтальной касательной к графику функции \(f(x) = (5^{x} - 65)(5^{x} + 15)\).
Касательная горизонтальна тогда и только тогда, когда её угловой коэффициент равен нулю, то есть когда \(f'(x_0) = 0\). Уравнение такой касательной имеет вид \(y = f(x_0)\).
Применяя теорему о производной произведения, получаем: \[\begin{aligned} &f'(x) = 5^{x}\ln 5 \cdot (5^{x} + 15) + (5^{x} - 65) \cdot 5^{x}\ln 5 = {} \\ &= 5^{x}\ln 5 \cdot (2 \cdot 5^{x} - 50) = 2 \cdot 5^{x}\ln 5 \cdot (5^{x} - 25). \end{aligned}\]
Множитель \(2 \cdot 5^{x}\ln 5\) положителен, поэтому равенство \(f'(x_0) = 0\) выполняется только при \(5^{x_0} = 25\), откуда \(x_0 = 2\).
Тогда \(f(2) = (25 - 65)(25 + 15) = -40 \cdot 40 = -1600\), и горизонтальная касательная задаётся уравнением \(y = -1600\).
Ответ: \(y = -1600\).
