Страница 72 номер 8.2, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) \(y' = (e^{-2x})' = e^{-2x} \cdot (-2x)' = -2e^{-2x}\).
2) \[y' = (x^{6})' \cdot e^{x} + (e^{x})' \cdot x^{6} = 6x^{5}e^{x} + x^{6}e^{x} = x^{5}e^{x}(6 + x).\]
3) \[y' = (e^{x})' \cdot \cos x + (\cos x)' \cdot e^{x} = e^{x}\cos x - e^{x}\sin x = e^{x}(\cos x - \sin x).\]
4) \[\begin{aligned} &y' = \frac{(x + 1)' \cdot e^{x} - (e^{x})' \cdot (x + 1)}{\left(e^{x}\right)^{2}} = {} \\ &= \frac{e^{x} - e^{x}(x + 1)}{e^{2x}} = \frac{e^{x}(-x)}{e^{2x}} = -\frac{x}{e^{x}}. \end{aligned}\]
5) \(y' = (6^{x})' = 6^{x}\ln 6\).
6) \(y' = (3^{4x + 1})' = 3^{4x + 1}\ln 3 \cdot (4x + 1)' = 4 \cdot 3^{4x + 1}\ln 3\).
7) Производная внутренней функции \(-x\) равна \(-1\), поэтому \(y' = (10^{-x})' = 10^{-x}\ln 10 \cdot (-x)' = -10^{-x}\ln 10\).
8) \[\begin{aligned} &y' = \frac{(5^{x} + 2)' \cdot (5^{x} - 1) - (5^{x} - 1)' \cdot (5^{x} + 2)}{(5^{x} - 1)^{2}} = {} \\ &= \frac{5^{x}\ln 5 \cdot \left((5^{x} - 1) - (5^{x} + 2)\right)}{(5^{x} - 1)^{2}} = -\frac{3 \cdot 5^{x}\ln 5}{(5^{x} - 1)^{2}}. \end{aligned}\]
9) Производная котангенса равна \(-\frac{1}{\sin^{2} x}\), поэтому \[y' = 0{,}7^{\operatorname{ctg} x}\ln 0{,}7 \cdot (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{0{,}7^{\operatorname{ctg} x}\ln 0{,}7}{\sin^{2} x}.\]
Основание \(0{,}7\) меньше единицы, поэтому \(\ln 0{,}7 < 0\) и производная положительна на всей области определения.
Ответ: 1) \(-2e^{-2x}\); 2) \(x^{5}e^{x}(6 + x)\); 3) \(e^{x}(\cos x - \sin x)\); 4) \(-\frac{x}{e^{x}}\); 5) \(6^{x}\ln 6\); 6) \(4 \cdot 3^{4x + 1}\ln 3\); 7) \(-10^{-x}\ln 10\); 8) \(-\frac{3 \cdot 5^{x}\ln 5}{(5^{x} - 1)^{2}}\); 9) \(-\frac{0{,}7^{\operatorname{ctg} x}\ln 0{,}7}{\sin^{2} x}\).
1) Используя теорему о производной сложной функции, запишем: \(y' = (e^{-2x})' = e^{-2x} \cdot (-2x)' = -2e^{-2x}\).
2) Применяя теорему о производной произведения, получаем: \[y' = (x^{6})' \cdot e^{x} + (e^{x})' \cdot x^{6} = 6x^{5}e^{x} + x^{6}e^{x} = x^{5}e^{x}(6 + x).\]
3) Применяя теорему о производной произведения, получаем: \[y' = (e^{x})' \cdot \cos x + (\cos x)' \cdot e^{x} = e^{x}\cos x - e^{x}\sin x = e^{x}(\cos x - \sin x).\]
4) Применяя теорему о производной частного, получаем: \[\begin{aligned} &y' = \frac{(x + 1)' \cdot e^{x} - (e^{x})' \cdot (x + 1)}{\left(e^{x}\right)^{2}} = {} \\ &= \frac{e^{x} - e^{x}(x + 1)}{e^{2x}} = \frac{e^{x}(-x)}{e^{2x}} = -\frac{x}{e^{x}}. \end{aligned}\]
5) По формуле производной показательной функции \(y' = (6^{x})' = 6^{x}\ln 6\).
6) Используя теорему о производной сложной функции, запишем: \(y' = (3^{4x + 1})' = 3^{4x + 1}\ln 3 \cdot (4x + 1)' = 4 \cdot 3^{4x + 1}\ln 3\).
7) Производная внутренней функции \(-x\) равна \(-1\), поэтому \(y' = (10^{-x})' = 10^{-x}\ln 10 \cdot (-x)' = -10^{-x}\ln 10\).
8) Применяя теорему о производной частного, получаем: \[\begin{aligned} &y' = \frac{(5^{x} + 2)' \cdot (5^{x} - 1) - (5^{x} - 1)' \cdot (5^{x} + 2)}{(5^{x} - 1)^{2}} = {} \\ &= \frac{5^{x}\ln 5 \cdot \left((5^{x} - 1) - (5^{x} + 2)\right)}{(5^{x} - 1)^{2}} = -\frac{3 \cdot 5^{x}\ln 5}{(5^{x} - 1)^{2}}. \end{aligned}\]
9) Производная котангенса равна \(-\frac{1}{\sin^{2} x}\), поэтому, используя теорему о производной сложной функции, получаем: \[y' = 0{,}7^{\operatorname{ctg} x}\ln 0{,}7 \cdot (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{0{,}7^{\operatorname{ctg} x}\ln 0{,}7}{\sin^{2} x}.\]
Основание \(0{,}7\) меньше единицы, поэтому \(\ln 0{,}7 < 0\) и полученная производная положительна на всей области определения.
Ответ: 1) \(-2e^{-2x}\); 2) \(x^{5}e^{x}(6 + x)\); 3) \(e^{x}(\cos x - \sin x)\); 4) \(-\frac{x}{e^{x}}\); 5) \(6^{x}\ln 6\); 6) \(4 \cdot 3^{4x + 1}\ln 3\); 7) \(-10^{-x}\ln 10\); 8) \(-\frac{3 \cdot 5^{x}\ln 5}{(5^{x} - 1)^{2}}\); 9) \(-\frac{0{,}7^{\operatorname{ctg} x}\ln 0{,}7}{\sin^{2} x}\).
