Страница 73 номер 8.11, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Уравнение касательной в точке с абсциссой \(x_{0}\): \(y = f(x_{0}) + f'(x_{0})(x - x_{0})\).
1) \(f(0) = e^{0} = 1\); \(f'(x) = e^{-2x} \cdot (-2x)' = -2e^{-2x}\), значит, \(f'(0) = -2e^{0} = -2\).
Тогда \(y = 1 - 2(x - 0)\), то есть \(y = -2x + 1\).
2) \(f(0) = e^{0} + \sin 0 = 1\); \(f'(x) = e^{x} + \cos x\), значит, \(f'(0) = e^{0} + \cos 0 = 2\).
Тогда \(y = 1 + 2(x - 0)\), то есть \(y = 2x + 1\).
3) \(f(1) = 1 \cdot 2^{1} = 2\); \[f'(x) = (x)' \cdot 2^{x} + (2^{x})' \cdot x = 2^{x} + x \cdot 2^{x}\ln 2.\]
Значит, \(f'(1) = 2 + 2\ln 2\), и \(y = 2 + (2 + 2\ln 2)(x - 1)\), то есть \(y = (2 + 2\ln 2)x - 2\ln 2\).
4) При \(x_{0} = -1\) показатель равен \(-3 + 4 = 1\), поэтому \(f(-1) = 6^{1} = 6\); \[f'(x) = 6^{3x + 4}\ln 6 \cdot (3x + 4)' = 3 \cdot 6^{3x + 4}\ln 6.\]
Значит, \(f'(-1) = 3 \cdot 6 \cdot \ln 6 = 18\ln 6\), и \(y = 6 + 18\ln 6 \cdot (x + 1)\), то есть \(y = 18x\ln 6 + 18\ln 6 + 6\).
5) Область определения функции — промежуток \((0;\ +\infty)\), и точка \(x_{0} = 1\) ему принадлежит: \(f(1) = 3 + \ln 1 = 3\); \(f'(x) = 3 + \frac{1}{x}\), значит, \(f'(1) = 3 + 1 = 4\).
Тогда \(y = 3 + 4(x - 1)\), то есть \(y = 4x - 1\).
6) При \(x_{0} = -1\) выражение под знаком логарифма равно \(5 - 4 = 1\), поэтому \(f(-1) = \ln 1 = 0\); \(f'(x) = \frac{1}{5 + 4x} \cdot (5 + 4x)' = \frac{4}{5 + 4x}\), значит, \(f'(-1) = \frac{4}{1} = 4\).
Тогда \(y = 0 + 4(x + 1)\), то есть \(y = 4x + 4\).
7) \(f(1) = \log_{3} 3 = 1\); \(f'(x) = \frac{1}{(2x + 1)\ln 3} \cdot (2x + 1)' = \frac{2}{(2x + 1)\ln 3}\), значит, \(f'(1) = \frac{2}{3\ln 3}\).
Тогда \(y = 1 + \frac{2}{3\ln 3}(x - 1)\), то есть \(y = \frac{2x}{3\ln 3} - \frac{2}{3\ln 3} + 1\).
8) \(f(4) = 2\ln(4 - 2) = 2\ln 2\); \(f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{x - 2} \cdot (x - 2)' = \frac{2}{x - 2}\), значит, \(f'(4) = \frac{2}{2} = 1\).
Тогда \(y = 2\ln 2 + (x - 4)\), то есть \(y = x - 4 + 2\ln 2\).
Ответ: 1) \(y = -2x + 1\); 2) \(y = 2x + 1\); 3) \(y = (2 + 2\ln 2)x - 2\ln 2\); 4) \(y = 18x\ln 6 + 18\ln 6 + 6\); 5) \(y = 4x - 1\); 6) \(y = 4x + 4\); 7) \(y = \frac{2x}{3\ln 3} - \frac{2}{3\ln 3} + 1\); 8) \(y = x - 4 + 2\ln 2\).
Касательная к графику функции \(f\) в точке с абсциссой \(x_{0}\) задаётся уравнением \(y = f(x_{0}) + f'(x_{0})(x - x_{0})\), поэтому в каждом пункте находим значение функции и значение её производной в точке \(x_{0}\).
1) Имеем: \(f(0) = e^{0} = 1\); \(f'(x) = e^{-2x} \cdot (-2x)' = -2e^{-2x}\), значит, \(f'(0) = -2e^{0} = -2\).
Тогда искомое уравнение имеет вид \(y = 1 - 2(x - 0)\), то есть \(y = -2x + 1\).
2) Имеем: \(f(0) = e^{0} + \sin 0 = 1\); \(f'(x) = e^{x} + \cos x\), значит, \(f'(0) = e^{0} + \cos 0 = 2\).
Тогда искомое уравнение имеет вид \(y = 1 + 2(x - 0)\), то есть \(y = 2x + 1\).
3) Имеем: \(f(1) = 1 \cdot 2^{1} = 2\). Применяя теорему о производной произведения, получаем: \[f'(x) = (x)' \cdot 2^{x} + (2^{x})' \cdot x = 2^{x} + x \cdot 2^{x}\ln 2.\]
Значит, \(f'(1) = 2 + 2\ln 2\), и искомое уравнение имеет вид \(y = 2 + (2 + 2\ln 2)(x - 1)\), то есть \(y = (2 + 2\ln 2)x - 2\ln 2\).
4) При \(x_{0} = -1\) показатель равен \(-3 + 4 = 1\), поэтому \(f(-1) = 6^{1} = 6\). Используя теорему о производной сложной функции, запишем: \[f'(x) = 6^{3x + 4}\ln 6 \cdot (3x + 4)' = 3 \cdot 6^{3x + 4}\ln 6.\]
Значит, \(f'(-1) = 3 \cdot 6 \cdot \ln 6 = 18\ln 6\), и искомое уравнение имеет вид \(y = 6 + 18\ln 6 \cdot (x + 1)\), то есть \(y = 18x\ln 6 + 18\ln 6 + 6\).
5) Область определения функции — промежуток \((0;\ +\infty)\), и точка \(x_{0} = 1\) ему принадлежит. Имеем: \(f(1) = 3 + \ln 1 = 3\); \(f'(x) = 3 + \frac{1}{x}\), значит, \(f'(1) = 3 + 1 = 4\).
Тогда искомое уравнение имеет вид \(y = 3 + 4(x - 1)\), то есть \(y = 4x - 1\).
6) При \(x_{0} = -1\) выражение под знаком логарифма равно \(5 - 4 = 1\), поэтому \(f(-1) = \ln 1 = 0\). Применяя теорему о производной сложной функции, получаем: \(f'(x) = \frac{1}{5 + 4x} \cdot (5 + 4x)' = \frac{4}{5 + 4x}\), значит, \(f'(-1) = \frac{4}{1} = 4\).
Тогда искомое уравнение имеет вид \(y = 0 + 4(x + 1)\), то есть \(y = 4x + 4\).
7) Имеем: \(f(1) = \log_{3} 3 = 1\). Применяя теорему о производной сложной функции, получаем: \(f'(x) = \frac{1}{(2x + 1)\ln 3} \cdot (2x + 1)' = \frac{2}{(2x + 1)\ln 3}\), значит, \(f'(1) = \frac{2}{3\ln 3}\).
Тогда искомое уравнение имеет вид \(y = 1 + \frac{2}{3\ln 3}(x - 1)\), то есть \(y = \frac{2x}{3\ln 3} - \frac{2}{3\ln 3} + 1\).
8) Имеем: \(f(4) = 2\ln(4 - 2) = 2\ln 2\). Применяя теорему о производной сложной функции, получаем: \(f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{x - 2} \cdot (x - 2)' = \frac{2}{x - 2}\), значит, \(f'(4) = \frac{2}{2} = 1\).
Тогда искомое уравнение имеет вид \(y = 2\ln 2 + (x - 4)\), то есть \(y = x - 4 + 2\ln 2\).
Ответ: 1) \(y = -2x + 1\); 2) \(y = 2x + 1\); 3) \(y = (2 + 2\ln 2)x - 2\ln 2\); 4) \(y = 18x\ln 6 + 18\ln 6 + 6\); 5) \(y = 4x - 1\); 6) \(y = 4x + 4\); 7) \(y = \frac{2x}{3\ln 3} - \frac{2}{3\ln 3} + 1\); 8) \(y = x - 4 + 2\ln 2\).
