Страница 66 номер 7.16, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите неравенство: 1) \(\log_{2}(-x) + \log_{2}(1 - x) \le 1\); 2) \(\log_{0{,}2}(x - 1) + \log_{0{,}2}(x + 3) \ge -1\); 3) \(\log_{3}(x - 2) + \log_{3}(x - 10) \ge 2\); 4) \(\log_{7} x + \log_{7}(3x - 8) \ge 1 + 2\log_{7} 2\).
Свёртка суммы логарифмов в логарифм произведения расширяет область определения, поэтому в систему входит положительность каждого выражения, стоявшего под знаком логарифма в условии.
1) \(\log_{2}(-x) + \log_{2}(1 - x) = \log_{2}\left((-x)(1 - x)\right)\), а \(1 = \log_{2} 2\). Основание 2 больше единицы, поэтому неравенство равносильно системе \[\begin{cases} (-x)(1 - x) \leqslant 2, \\ -x > 0, \\ 1 - x > 0. \end{cases}\]
Так как \((-x)(1 - x) = x^2 - x\), получаем \[\begin{cases} x^2 - x - 2 \leqslant 0, \\ x < 0; \end{cases} \quad \begin{cases} (x - 2)(x + 1) \leqslant 0, \\ x < 0; \end{cases} \quad \begin{cases} -1 \leqslant x \leqslant 2, \\ x < 0; \end{cases} \quad -1 \leqslant x < 0.\]
2) \(\log_{0{,}2}(x - 1) + \log_{0{,}2}(x + 3) = \log_{0{,}2}\left((x - 1)(x + 3)\right)\), а \(-1 = \log_{0{,}2} 5\). Основание \(0{,}2\) меньше единицы, поэтому неравенство равносильно системе \[\begin{cases} (x - 1)(x + 3) \leqslant 5, \\ x - 1 > 0, \\ x + 3 > 0. \end{cases}\]
\[\begin{cases} x^2 + 2x - 8 \leqslant 0, \\ x > 1; \end{cases} \quad \begin{cases} (x + 4)(x - 2) \leqslant 0, \\ x > 1; \end{cases} \quad \begin{cases} -4 \leqslant x \leqslant 2, \\ x > 1; \end{cases} \quad 1 < x \leqslant 2.\]
3) \(\log_{3}(x - 2) + \log_{3}(x - 10) = \log_{3}\left((x - 2)(x - 10)\right)\), а \(2 = \log_{3} 9\). Основание 3 больше единицы, поэтому неравенство равносильно системе \[\begin{cases} (x - 2)(x - 10) \geqslant 9, \\ x - 2 > 0, \\ x - 10 > 0. \end{cases}\]
\[\begin{cases} x^2 - 12x + 11 \geqslant 0, \\ x > 10; \end{cases} \quad \begin{cases} (x - 1)(x - 11) \geqslant 0, \\ x > 10; \end{cases} \quad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x \leqslant 1, \\ x \geqslant 11; \end{array}\right. \\ x > 10; \end{cases} \quad x \geqslant 11.\]
4) \(1 + 2\log_{7} 2 = \log_{7} 7 + \log_{7} 4 = \log_{7} 28\), а слева \(\log_{7} x + \log_{7}(3x - 8) = \log_{7}\left(x(3x - 8)\right)\). Основание 7 больше единицы, поэтому неравенство равносильно системе \[\begin{cases} x(3x - 8) \geqslant 28, \\ x > 0, \\ 3x - 8 > 0. \end{cases}\]
\[\begin{cases} 3x^2 - 8x - 28 \geqslant 0, \\ x > \frac{8}{3}; \end{cases} \quad \begin{cases} (x + 2)(3x - 14) \geqslant 0, \\ x > \frac{8}{3}; \end{cases} \quad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x \leqslant -2, \\ x \geqslant \frac{14}{3}; \end{array}\right. \\ x > \frac{8}{3}; \end{cases} \quad x \geqslant \frac{14}{3}.\]
Ответ: 1) \([-1;\ 0)\); 2) \((1;\ 2]\); 3) \([11;\ +\infty)\); 4) \(\left[\frac{14}{3};\ +\infty\right)\).
Решите неравенство: 1) \(\log_{2}(-x) + \log_{2}(1 - x) \le 1\); 2) \(\log_{0{,}2}(x - 1) + \log_{0{,}2}(x + 3) \ge -1\); 3) \(\log_{3}(x - 2) + \log_{3}(x - 10) \ge 2\); 4) \(\log_{7} x + \log_{7}(3x - 8) \ge 1 + 2\log_{7} 2\).
В каждом пункте сумма логарифмов сворачивается в логарифм произведения, а число в правой части записывается логарифмом по тому же основанию. Так как свёртка расширяет область определения, в систему входит положительность каждого выражения, стоявшего под знаком логарифма в условии.
1) Так как \(\log_{2}(-x) + \log_{2}(1 - x) = \log_{2}\left((-x)(1 - x)\right)\) и \(1 = \log_{2} 2\), неравенство принимает вид \(\log_{2}\left((-x)(1 - x)\right) \leqslant \log_{2} 2\). Основание 2 больше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} (-x)(1 - x) \leqslant 2, \\ -x > 0, \\ 1 - x > 0. \end{cases}\] Так как \((-x)(1 - x) = x^2 - x\), получаем \[\begin{cases} x^2 - x - 2 \leqslant 0, \\ x < 0; \end{cases} \quad \begin{cases} (x - 2)(x + 1) \leqslant 0, \\ x < 0; \end{cases} \quad \begin{cases} -1 \leqslant x \leqslant 2, \\ x < 0; \end{cases} \quad -1 \leqslant x < 0.\]
2) Так как \(\log_{0{,}2}(x - 1) + \log_{0{,}2}(x + 3) = \log_{0{,}2}\left((x - 1)(x + 3)\right)\) и \(-1 = \log_{0{,}2} 5\), неравенство принимает вид \(\log_{0{,}2}\left((x - 1)(x + 3)\right) \geqslant \log_{0{,}2} 5\). Основание \(0{,}2\) меньше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} (x - 1)(x + 3) \leqslant 5, \\ x - 1 > 0, \\ x + 3 > 0. \end{cases}\] Отсюда \[\begin{cases} x^2 + 2x - 8 \leqslant 0, \\ x > 1; \end{cases} \quad \begin{cases} (x + 4)(x - 2) \leqslant 0, \\ x > 1; \end{cases} \quad \begin{cases} -4 \leqslant x \leqslant 2, \\ x > 1; \end{cases} \quad 1 < x \leqslant 2.\]
3) Так как \(\log_{3}(x - 2) + \log_{3}(x - 10) = \log_{3}\left((x - 2)(x - 10)\right)\) и \(2 = \log_{3} 9\), неравенство принимает вид \(\log_{3}\left((x - 2)(x - 10)\right) \geqslant \log_{3} 9\). Основание 3 больше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} (x - 2)(x - 10) \geqslant 9, \\ x - 2 > 0, \\ x - 10 > 0. \end{cases}\] Отсюда \[\begin{cases} x^2 - 12x + 11 \geqslant 0, \\ x > 10; \end{cases} \quad \begin{cases} (x - 1)(x - 11) \geqslant 0, \\ x > 10; \end{cases} \quad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x \leqslant 1, \\ x \geqslant 11; \end{array}\right. \\ x > 10; \end{cases} \quad x \geqslant 11.\]
4) Правую часть приведём к одному логарифму: \(1 + 2\log_{7} 2 = \log_{7} 7 + \log_{7} 4 = \log_{7} 28\). Слева \(\log_{7} x + \log_{7}(3x - 8) = \log_{7}\left(x(3x - 8)\right)\). Основание 7 больше единицы, поэтому данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} x(3x - 8) \geqslant 28, \\ x > 0, \\ 3x - 8 > 0. \end{cases}\] Отсюда \[\begin{cases} 3x^2 - 8x - 28 \geqslant 0, \\ x > \frac{8}{3}; \end{cases} \quad \begin{cases} (x + 2)(3x - 14) \geqslant 0, \\ x > \frac{8}{3}; \end{cases} \quad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x \leqslant -2, \\ x \geqslant \frac{14}{3}; \end{array}\right. \\ x > \frac{8}{3}; \end{cases} \quad x \geqslant \frac{14}{3}.\]
Ответ: 1) \([-1;\ 0)\); 2) \((1;\ 2]\); 3) \([11;\ +\infty)\); 4) \(\left[\frac{14}{3};\ +\infty\right)\).
