Страница 72 номер 8.8, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Вычислите значение производной функции \(f\) в точке \(x_0\): 1) \(f(x) = \ln(6x - 5)\), \(x_0 = 3\); 2) \(f(x) = 8\ln \frac{x}{2}\), \(x_0 = \frac{1}{2}\); 3) \(f(x) = \lg(x^2 - 5x + 8)\), \(x_0 = 2\); 4) \(f(x) = \ln \cos \frac{x}{3}\), \(x_0 = \frac{\pi}{2}\).
1) \(f'(x) = \frac{1}{6x - 5} \cdot (6x - 5)' = \frac{6}{6x - 5}\).
Тогда \(f'(3) = \frac{6}{18 - 5} = \frac{6}{13}\).
2) \[f'(x) = 8 \cdot \frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot \left(\frac{x}{2}\right)' = 8 \cdot \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{8}{x}.\]
Тогда \(f'\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 16\).
3) \[f'(x) = \frac{1}{(x^{2} - 5x + 8)\ln 10} \cdot (x^{2} - 5x + 8)' = \frac{2x - 5}{(x^{2} - 5x + 8)\ln 10}.\]
При \(x_{0} = 2\) знаменатель содержит \(4 - 10 + 8 = 2\), а числитель равен \(4 - 5 = -1\). Значит, \(f'(2) = \frac{-1}{2\ln 10} = -\frac{1}{2\ln 10}\).
4) \[f'(x) = \frac{1}{\cos \frac{x}{3}} \cdot \left(-\sin \frac{x}{3}\right) \cdot \left(\frac{x}{3}\right)' = -\frac{\sin \frac{x}{3}}{3\cos \frac{x}{3}}.\]
Тогда \(f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\sin \frac{\pi}{6}}{3\cos \frac{\pi}{6}} = -\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{3\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{9}\).
Ответ: 1) \(\frac{6}{13}\); 2) 16; 3) \(-\frac{1}{2\ln 10}\); 4) \(-\frac{\sqrt{3}}{9}\).
Вычислите значение производной функции \(f\) в точке \(x_0\): 1) \(f(x) = \ln(6x - 5)\), \(x_0 = 3\); 2) \(f(x) = 8\ln \frac{x}{2}\), \(x_0 = \frac{1}{2}\); 3) \(f(x) = \lg(x^2 - 5x + 8)\), \(x_0 = 2\); 4) \(f(x) = \ln \cos \frac{x}{3}\), \(x_0 = \frac{\pi}{2}\).
1) Используя теорему о производной сложной функции, запишем: \(f'(x) = \frac{1}{6x - 5} \cdot (6x - 5)' = \frac{6}{6x - 5}\).
Тогда \(f'(3) = \frac{6}{18 - 5} = \frac{6}{13}\).
2) Применяя теорему о производной сложной функции, получаем: \[f'(x) = 8 \cdot \frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot \left(\frac{x}{2}\right)' = 8 \cdot \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{8}{x}.\]
Тогда \(f'\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 16\).
3) Применяя теорему о производной сложной функции, получаем: \[f'(x) = \frac{1}{(x^{2} - 5x + 8)\ln 10} \cdot (x^{2} - 5x + 8)' = \frac{2x - 5}{(x^{2} - 5x + 8)\ln 10}.\]
При \(x_{0} = 2\) знаменатель содержит \(4 - 10 + 8 = 2\), а числитель равен \(4 - 5 = -1\). Значит, \(f'(2) = \frac{-1}{2\ln 10} = -\frac{1}{2\ln 10}\).
4) Данная функция — логарифм косинуса от линейной функции, поэтому теорему о производной сложной функции применяем дважды: \[f'(x) = \frac{1}{\cos \frac{x}{3}} \cdot \left(-\sin \frac{x}{3}\right) \cdot \left(\frac{x}{3}\right)' = -\frac{\sin \frac{x}{3}}{3\cos \frac{x}{3}}.\]
Тогда \(f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\sin \frac{\pi}{6}}{3\cos \frac{\pi}{6}} = -\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{3\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{9}\).
Ответ: 1) \(\frac{6}{13}\); 2) 16; 3) \(-\frac{1}{2\ln 10}\); 4) \(-\frac{\sqrt{3}}{9}\).
