Страница 66 номер 7.22, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите неравенство: 1) \(\log_{\frac{7}{4}} \log_{5}(x^2 - 2x - 3) \le 0\); 2) \(\log_{0{,}8} \log_{2} \frac{3x - 1}{2 - x} > 0\).
1) Так как \(0 = \log_{\frac{7}{4}} 1\), неравенство принимает вид \(\log_{\frac{7}{4}} \log_{5}(x^2 - 2x - 3) \leqslant \log_{\frac{7}{4}} 1\). Основание \(\frac{7}{4}\) больше единицы, поэтому это неравенство равносильно системе \[\begin{cases} \log_{5}(x^2 - 2x - 3) \leqslant 1, \\ \log_{5}(x^2 - 2x - 3) > 0. \end{cases}\]
Так как \(1 = \log_{5} 5\), \(0 = \log_{5} 1\), а основание 5 больше единицы, эта система равносильна такой: \[\begin{cases} x^2 - 2x - 3 \leqslant 5, \\ x^2 - 2x - 3 > 1; \end{cases} \quad \begin{cases} x^2 - 2x - 8 \leqslant 0, \\ x^2 - 2x - 4 > 0. \end{cases}\]
Первое неравенство: \((x + 2)(x - 4) \leqslant 0\), отсюда \(-2 \leqslant x \leqslant 4\). Корни трёхчлена \(x^2 - 2x - 4\) — числа \(1 - \sqrt{5}\) и \(1 + \sqrt{5}\) (дискриминант равен \(4 + 16 = 20\)), поэтому второе даёт \(x < 1 - \sqrt{5}\) или \(x > 1 + \sqrt{5}\).
Так как \(5 < 9\), то \(\sqrt{5} < 3\), а потому \(1 - \sqrt{5} > -2\) и \(1 + \sqrt{5} < 4\). Пересечение: \[\left[\begin{array}{l} -2 \leqslant x < 1 - \sqrt{5}, \\ 1 + \sqrt{5} < x \leqslant 4. \end{array}\right.\]
2) Так как \(0 = \log_{0{,}8} 1\), неравенство принимает вид \(\log_{0{,}8} \log_{2} \frac{3x - 1}{2 - x} > \log_{0{,}8} 1\). Основание \(0{,}8\) меньше единицы, поэтому это неравенство равносильно системе \[\begin{cases} \log_{2} \frac{3x - 1}{2 - x} < 1, \\ \log_{2} \frac{3x - 1}{2 - x} > 0. \end{cases}\]
Второе неравенство системы и есть условие существования внешнего логарифма: его аргумент положителен. Так как \(1 = \log_{2} 2\), \(0 = \log_{2} 1\), а основание 2 больше единицы, система равносильна такой: \[\begin{cases} \frac{3x - 1}{2 - x} < 2, \\ \frac{3x - 1}{2 - x} > 1. \end{cases}\]
Первое неравенство: \(\frac{3x - 1}{2 - x} - 2 < 0\); \(\frac{5x - 5}{2 - x} < 0\); \(\frac{5(x - 1)}{x - 2} > 0\); отсюда \(x < 1\) или \(x > 2\).
Второе неравенство: \(\frac{3x - 1}{2 - x} - 1 > 0\); \(\frac{4x - 3}{2 - x} > 0\); \(\frac{4x - 3}{x - 2} < 0\); отсюда \(\frac{3}{4} < x < 2\).
Пересечение — промежуток \(\left(\frac{3}{4};\ 1\right)\).
Ответ: 1) \([-2;\ 1 - \sqrt{5}) \cup (1 + \sqrt{5};\ 4]\); 2) \(\left(\frac{3}{4};\ 1\right)\).
Решите неравенство: 1) \(\log_{\frac{7}{4}} \log_{5}(x^2 - 2x - 3) \le 0\); 2) \(\log_{0{,}8} \log_{2} \frac{3x - 1}{2 - x} > 0\).
1) Так как \(0 = \log_{\frac{7}{4}} 1\), данное неравенство можно записать так: \(\log_{\frac{7}{4}} \log_{5}(x^2 - 2x - 3) \leqslant \log_{\frac{7}{4}} 1\). Основание \(\frac{7}{4}\) больше единицы, поэтому это неравенство равносильно системе \[\begin{cases} \log_{5}(x^2 - 2x - 3) \leqslant 1, \\ \log_{5}(x^2 - 2x - 3) > 0. \end{cases}\] Так как \(1 = \log_{5} 5\), \(0 = \log_{5} 1\), а основание 5 больше единицы, эта система равносильна такой: \[\begin{cases} x^2 - 2x - 3 \leqslant 5, \\ x^2 - 2x - 3 > 1; \end{cases} \quad \begin{cases} x^2 - 2x - 8 \leqslant 0, \\ x^2 - 2x - 4 > 0. \end{cases}\] Первое неравенство: \((x + 2)(x - 4) \leqslant 0\); отсюда \(-2 \leqslant x \leqslant 4\). Корни трёхчлена \(x^2 - 2x - 4\) — числа \(1 - \sqrt{5}\) и \(1 + \sqrt{5}\) (дискриминант равен \(4 + 16 = 20\)), поэтому второе неравенство даёт \(x < 1 - \sqrt{5}\) или \(x > 1 + \sqrt{5}\).
Так как \(5 < 9\), то \(\sqrt{5} < 3\), а потому \(1 - \sqrt{5} > -2\) и \(1 + \sqrt{5} < 4\). Пересечение найденных множеств таково: \[\left[\begin{array}{l} -2 \leqslant x < 1 - \sqrt{5}, \\ 1 + \sqrt{5} < x \leqslant 4. \end{array}\right.\]
2) Так как \(0 = \log_{0{,}8} 1\), данное неравенство можно записать так: \(\log_{0{,}8} \log_{2} \frac{3x - 1}{2 - x} > \log_{0{,}8} 1\). Основание \(0{,}8\) меньше единицы, поэтому это неравенство равносильно системе \[\begin{cases} \log_{2} \frac{3x - 1}{2 - x} < 1, \\ \log_{2} \frac{3x - 1}{2 - x} > 0. \end{cases}\] Второе неравенство системы и есть условие существования внешнего логарифма: его аргумент положителен. Так как \(1 = \log_{2} 2\), \(0 = \log_{2} 1\), а основание 2 больше единицы, система равносильна такой: \[\begin{cases} \frac{3x - 1}{2 - x} < 2, \\ \frac{3x - 1}{2 - x} > 1. \end{cases}\] Первое неравенство: \(\frac{3x - 1}{2 - x} - 2 < 0\); \(\frac{5x - 5}{2 - x} < 0\); \(\frac{5(x - 1)}{x - 2} > 0\); отсюда \(x < 1\) или \(x > 2\). Второе неравенство: \(\frac{3x - 1}{2 - x} - 1 > 0\); \(\frac{4x - 3}{2 - x} > 0\); \(\frac{4x - 3}{x - 2} < 0\); отсюда \(\frac{3}{4} < x < 2\). Пересечение найденных множеств — промежуток \(\left(\frac{3}{4};\ 1\right)\).
Ответ: 1) \([-2;\ 1 - \sqrt{5}) \cup (1 + \sqrt{5};\ 4]\); 2) \(\left(\frac{3}{4};\ 1\right)\).
